Dazu muss man wissen, was die Ableitung \(z'#\) hier bedeutet, d.h. wonach hier abgeleitet wird. Aus der Lösung schließe ich: nach x ist gemeint.
Die Dgl \(z''(x)+z(x)=0\) hat die allg. Lösung \(z(x)=c_1\,\cos x+c_2\,\sin x\) (lin. hom. Dgl. 2. Ord, mit konstanten Koeffizienten: char. Gleichung bilden bzw. Ansatz \(z(x)=e^{\lambda\, x}\)). Wenn hier \(z\) eine Funktion von zwei Variablen sein soll (merke: Weglassen der Argumente von \(z\) geht nur, wenn man weiß, was gemeint ist, also nicht ratsam), dann können die Konstanten \(c_1,c_2\) durchaus noch von der zweiten Variablen \(y\) abhängen (denn die ist ja vom Ableiten in \(z''\) nicht betroffen). Das führt dann auf die angegebene Lösung.