Phoenix Methode in der Partiellen Integration

Aufrufe: 2821     Aktiv: 09.04.2021 um 15:12
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Schönen guten Morgen,
in meiner Vorbereitung zur kommenden Matheklausur im Thema Integralrechnung bin ich auf eine Methode gestoßen, die sich vor allem in der Phönix Methode bewährt hat. Hier entnimmt dem Integral einen Teil des Faktors und schreibt es integriert vor das Integral (das gleiche scheint auch mit dem Vorzeichen zu funktionieren):

\(= sin(x) * cos(x) - \int(sin(x) *(-sin(x))dx\)
\(= sin(x) * cos(x) + \int(sin^2(x))dx\)

Frage 1: Welche Mathematische Regel muss angewendet werden, damit das obere möglich wird?

Trigonometrischer Pythagoras:

\(= sin(x) * cos(x) + \int(sin^2(x))dx\)
\(= sin(x) * cos(x) + \int(1-cos^2(x))dx\)
\(= sin(x) * cos(x) + x-\int(cos^2(x))dx\)

Ich hoffe, ich habe die Zeilen richtig abgeschrieben. Welche Regel muss ich kennen, um das obrige anwenden zu können und geht das ganze auch andersrum? Bei einer Übungsaufgabe könnte ich dem Ergebnis näher kommen, wenn ich wüsste, wie ich das mache.

Freue mich über jede Art von Antwort!

Cheers 

 

PS: Zu lösende Aufgabe ist:
\( \int (e^x * cos(x)) dx\)

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Ich verstehe um ehrlich zu sein deine Frage nicht. Dein Einführungstext liest sich auch etwas merkwürdig. Und was ist überhaupt die zu integrierende Funktion? Man will zumindest am Anfang schon beide Seiten der Gleichung sehen und nicht erst mittendrin irgendwo. Übrigens ist "Phoenix-Methode" kein sehr gängiger Begriff. Es ist zudem auch keine "Methode" sondern schlichtes Umstellen nach einer Größe.   ─   anonym179aa 08.04.2021 um 10:57
Tut mir leid, ich kann die Frage leider nicht anpassen, deshalb hier:
Mit auf eine Methode gestoßen meine ich eine Art und Weise, mit der man in (mein Buch bezeichnet es als) der Phönix Methode bestimmte Integrale lösen kann... Also eine Art Trick in der Partiellen Integration. Ich dachte das wäre gängig, tut mir leid! Die Beschreibung des Buches lautet: "Manchmal entsteht das Ausgangsintegral nach mehrfacher partieller Integration auf der rechten Seite der Formel wieder. Dann kann man das Integral durch Auflösen der Gleichung bestimmen."

Die Formel selbst lautet: \(\int (cos^2(x))dx\)
Hier folgen die Rechenschritte, die ich weggelassen habe. Sie sind direkt aus dem Buch entnommen. Danach geht es weiter in der originalen Frage.
\(\int (cos^2(x))dx\) = \(\int (cos(x) * cos(x))dx \)
\(\int (cos(x) * cos(x))dx \) = \( sin(x) * cos(x) - \int sin(x) * (-sin (x))dx \)
\(\int (cos(x) * cos(x))dx \) = \( sin(x) * cos(x) - \int sin^2(x)dx \)

Diese ist nun zu lösen mit der Partiellen Integration und der eben genannten "Phönix Methode". Wie Ihr seht, werden Vorzeichen verändert oder Teile des Integrals rausgenommen und draußen integriert aufgeschrieben. Wie man auch oben sehen kann.   ─   h3nr1k 08.04.2021 um 11:12
Frage habe ich angepasst   ─   h3nr1k 08.04.2021 um 11:26
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Du musst dich nicht entschuldigen. Konntest du ja nicht ahnen :) Lösung hat dir scotchwhisky bereits geschrieben. Hier nur paar andere Anmerkungen:

So wie du es beschreibst, klingt es ein wenig als sind dir einige einfache Regeln bzgl. des Integrals nicht ganz klar, kann mich aber natürlich auch irren.
Zunächst es werden keine Vorzeichen einfach "verändert". Minus mal Minus ist einfach Plus, aber das weißt du sicher.
"Teile des Integrals werden rausgenommen." Ja, Konstanten darf man problemlos vor das Integral ziehen. \(\int a\cdot f(x)dx=a\int f(x)dx\)
"Draußen integriert aufgeschrieben". Meinst du in zwei Integrale aufgeteilt? Auch das darf man \( \int f(x)+g(x) dx = \int f(x)dx+\int g(x)dx \)
Was du nicht darfst ist sowas wie \( \int f(x)dx \neq f(x)\int dx\), es sei denn f(x) ist eine Konstante d.h. \( f(x)=c \), das ist dann wieder mein erstes Beispiel.

   ─   anonym179aa 08.04.2021 um 12:48
Vielen Dank für die erneute Antwort. Ich verstehe alles, außer die Aussage, dass keine Vorzeichen verändert werden und die Regeln kannte ich sogar, nur dass ich dass nicht direkt gesehen habe.

Um nochmal auf die Vorzeichen zurückzukommen:

Was passiert denn hier "blöd" gesagt:
Das untere ist ja genau betrachtet gleich, oder?
\( -\int (1 - cos(x))dx = -\int (f(x) - g(x))dx \)
Ich trenne jetzt die Formeln voneinander und Integriere f(x)
\( => x -\int (- g(x))dx \)
Das ist, jetzt da es mir gesagt wurde, die fünfte Regel der Integralrechnung \( \int_a^b (f(x)) + \int_a^b (g(x)) = \int_a^b (f(x) + g(x))\)
Aber welche Regel wird angewendet um nun das Minus von -g(x) mit dem Minus vor dem Integral zu multiplizieren?
Ansonsten habt Ihr mir erstmal sehr geholfen. Vielen Dank!   ─   h3nr1k 08.04.2021 um 19:00
Die üblichen Rechenregeln. Minus eins ist nichts anderes als der Vorfaktor -1. Also \( -\int -g(x) dx = (-1)\int (-1)\cdot g(x)dx =(-1)(-1)\int g(x)dx=+\int g(x)dx\)   ─   anonym179aa 09.04.2021 um 15:06
Danke!   ─   h3nr1k 09.04.2021 um 15:12
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1 Antwort
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Das Verfahren beruht auf der Produktregel \((u*v)´= u´*v +v´*u\).
Auf Integrale angewendet : \(\int (u*v)´dx = u*v =\int u´vdx +\int v´udx +c \Rightarrow \int u´vdx = uv - \int v´udx +c \)
Zu deinem Beispiel: \( \int cos^2xdx =\int cosx*cosxdx\). Jetzt setzt du:  \(cosx =u´ \text { und } cos x=v \Rightarrow u=sinx ; v´= -sinx; \Rightarrow \int u´vdx= \int cosx*cosxdx = cosx* sinx -\int sinx*(-sinx)dx +c = cosx*sinx +\int sin^2xdx +c = cosx*sinx +\int(1 -cos^2x)dx +c=cosx*sinx +x-  \int cos^2x dx +c\)
Jetzt siehst du , dass das Ursprungsintegral (wie Phönix aus der Asche) rechts wieder auftaucht.
Also \(2*\int cos^2dx = cosx*sinx +x +c \Rightarrow \int cos^2xdx = {1 \over 2}(cosx*sinx +x+c)\)
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Vielen Dank!   ─   h3nr1k 08.04.2021 um 19:00

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