Hey, das ist ein ganz klassischer Induktionsbeweis. Du brauchst also zunächst einen Induktionsanfang. Dafür setzt du den kleinsten Wert für den deine Aussage gelten soll explizit ein und zeigst, dass die Ungleichung in diesem Fall erfüllt ist. Da das der leichteste Schritt ist probiere dich doch Mal selbst, ich schaue dann gerne nochmal drüber!

Der Kern des Induktionsbeweises ist der Induktionsschritt. Wir wollen zeigen, dass:

\( (2n)!\geq (n!)^{2} \quad \longrightarrow \quad (2(n+1))! \geq ((n+1)!)^{2} \)

, also dass wenn die Aussage für ein \( n \in \mathbb{N} \) gilt, so gilt sie auch für \( n+1 \).

Dazu nehmen wir an, dass die Bedingung also für ein \( n \in \mathbb{N} \) erfüllt ist und versuchen zu zeigen, dass die rechte Seite mit \( n+1 \) wahr ist.

\( (2(n+1))! \geq ((n+1)!)^{2} \quad \)

dazu schreiben wir die Fakultäten Mal etwas ausführlich

\( (2n+2)\cdot(2n+1)\cdot(2n)\cdot(2n-1)\cdot...\)

\(\geq (n+1)\cdot(n)\cdot (n-1)\cdot...(2)\cdot(n+1)\cdot(n)\cdot(n-1)... \)

Jetzt können wir einen Anteil wieder als Fakultät abspalten, der uns bereits bekannt vorkommt:

\( (2n+2)\cdot(2n+1)\cdot(2n)! \geq (n+1)^{2} \cdot  (n!)^{2} \)

Unter der Induktionsvoraussetzung, dass \( (2n)! \geq (n!)^{2} \) gilt kann man nun ziemlich einfach den Induktionsschritt beweisen. 

Gelingt dir das? Ich schaue es mir gern nochmal an, wenn du dich am Induktionsanfang und dem Ende des Induktionsschrittes probiert hast!

Viele Grüße, jojoliese