Zur Bestimmung vo Extrempunkten setzt du die 1. Ableitung =0. dann bekommst du für x die Extrempunkte raus. Das ist das notwendige Kriterium. Für das hinreichende Kriterium setzt du die x Werte, die du grade erhalten hast, alle einzeln in die 2. Ableitung ein. Ist das Ergebnis größer als 0, also positiv, hast du an dieser Stelle einen Tiefpunkt. Wenn es kleiner als 0, also negativ ist, hast du einen Hochpunkt.

Bei den Wendepunkten ist das so ähnlich. Du setzt diesmal die 2. Ableitung 0 (notwendiges Kriterium) und bekommst wieder mindestens einen Punkt raus. diese(n) setzt du dann in die 3. Ableitung ein und guckst, dass f'''(x) nicht 0 ist (hinreichendes Kriterium).

Wenn die 1. Ableitung 0, die 2. Ableitung 0 und die 3. Ableitung 0 ist, hast du glaube ich einen Sattelpunkt ( Wendepunkt mit einem Anstieg von 0, z.B. bei x³ im Punkt P(0;0).

Hoffe es ist nun verständlich :)

Extrempunkte:

Du müsstest bereits wissen, dass die Ableitung einer Funktion die Steigung an einer bestimmten Stelle x angibt.

Notwendige Bedingung:

Da in der Extremstelle einer Funktion f die Steigung 0 ist, musst du die Nullstelle x0 der ersten Ableitung bestimmen also f´(x0)=0 setzen. Diese Nullstelle der ersten Ableitung ist eine möglichen Extremstelle der Ausgangsfunktion f

Hinreichende Bedingung:

Um zu überprüfen ob tatsächlich ein Extremum vorliegt nutzt du die zweite Ableitung. Diese gibt die Krümmung der Ausgangsfunktion an. Dazu setzt du x0 in die zweite Ableitung f" ein

Ist f"(x0)>0 so ist f linksgekrümmt und es liegt ein Minimum vor

Ist f"(x0)<0 so ist f rechtsgekrümmt und es liegt ein Maximum vor

(Eselsbrücke: um sich leichter merken zu können wann ein Maximum oder ein Minimum vorliegt kann man sich einen smiley vorstellen. Ist f"(x) positiv, so lächelt der smiley und der Mund ist dadurch linksgekrümmt und besitzt einen Tiefpunkt. Ist f"(x) negativ ist der smiley schlecht gelaunt und besitzt einen Hochpunkt)

Wendepunkte:

Notwendige Bedingung:

In den Wendepunkten liegt keine Krümmung bzw ein Wechsel zwischen links und rechts oder rechts und links -krümmung vor. Von der zweiten Ableitung wissen wir dass diese die Krümmung angibt. An Wendestellen muss also gelten f"(x0)=0 da keine Krümmung vorliegt. Die Stelle x0 gibt in diesem Fall eine mögliche Wendestelle von f an.

Hinreichende Bedingung:

Um zu überprüfen ob tatsächlich eine Wendestelle vorliegt nutzt du die dritte Ableitung. Es gilt:

Ist f'''(x0)>0 so liegt ein rechts-links Wendepunkt vor 

Ist f'''(x0)<0 so liegt ein rechts-links Wendepunkt vor

Eine andere Erklärung für Wendestellen wäre:

An Wendestellen x0 liegt die maximale Steigung der Funktion f vor

Die erste Ableitung f' der Funktion gibt die Steigung der Funktion f an. Da die Steigung in den Wendestellen maximal ist, sucht man die Extremstellen der ersten Ableitung. s.o.

Liegt ein Maximum an der Stelle x0 der ersten Ableitung f' vor, so ist die Steigung an der Stelle x0 der Funktion f "maximal" positiv und es liegt ein links-rechts Wendepunkt vor

Liegt ein Minimum an der Stelle x0 der ersten Ableitung f' vor, so ist die Steigung an der Stelle x0 der Funktion f "maximal" negativ und es liegt ein rechts-links Wendepunkt vor