Hallo,

für eine kommutative Gruppe musst du die Gruppenaxiome überprüfen und zusätzlich \(x\ast y=y\ast x\). Die Kommutativität:

$$x \ast y = 2(x+y-1)-xy = 2(y+x-1)-yx=y\ast x$$ 

folgt direkt aus der Kommutativität von Plus und Mal für reelle Zahlen. Für das neutrale Element \(e\) muss gelten: \(x \ast e = e \ast x= x\) und somit:

$$x\ast e =  2(x+e-1)-x\cdot e = x.$$

Daraus folgt nach Umformung:

$$2x + 2e - 2 - x\cdot e = x$$

$$x-2 = (-2+x)e$$

Und \(e=1\) löst die Gleichung. Umgekehrt gilt:

$$1\ast x= x\ast 1 = x$$

wegen der Kommutativität. Somit muss für das inverse Element \(x'\) gelten:

$$x\ast x' = 1$$

Und somit:

$$x\ast x' = 2(x+x'-1)-xx'=2x+2x'-2-xx'=1$$

Daraus folgt:

$$x'(2-x)=3-2x,$$

also:

$$x'=\frac{3-2x}{2-x}$$

Hier wird auch deutlich, warum die \(2\) ausgeschlossen wird für \(G\).

Die Assoziativität überlasse ich dir! :)