Von \((\mathbb{Z},+)\) ist \((2\mathbb{Z}, +)\), also die Menge aller geraden Zahlen mit \(+\), eine Untergruppe. Um hier die Abgeschlossenheit zu zeigen, wählst du zwei Elemente aus \(\mathbb{2Z}\) und verknüpfst diese mit \(+\). Es gilt für \(a_1:=2k_1\) und \(a_2:=2k_2\) mit \(k_1,k_2 \in \mathbb{Z}\): $$a_1+a_2=2k_1+2k_2=2(k_1+k_2)$$Dadurch, dass \((\mathbb{Z},+)\) eine Gruppe ist, gilt somit \(k_1+k_2\in \mathbb {Z}\) und somit ist auch \(2(k_1+k_2)\in 2\mathbb{Z}\). Anschaulich gesprochen haben wir damit gezeigt, dass die Addition von geraden Zahlen wiederum gerade ist.