Symmetrie (A.S./P.S.)

Aufrufe: 618     Aktiv: 27.09.2020 um 14:16
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Hallo,

ich habe die Funktion: f(x)=2x^3+4x^2+2x+1 und sonst keine weiteren Informationen. Nach meiner Recherche dürfte ja keine Symmetrie vorliegen - ist das richtig? Da es ja gerade UND ungerade Exponenten gibt.

Außerdem habe ich die Funktion: f(x)=(x^2-2x+1)/(x+1) (Gebrochen-Rationale-Fkt.) und sonst keine weiteren Informationen. Dadurch, dass im Zähler ja eigentlich keine Symmetrie ist, dürfte die gesamte Funktion, nach meiner Recherche, keine Symmetrie haben. Hat Sie aber im Punkt P(-1/-4) (Punktsymmetrisch). Wie kann das sein? Gibt es eine Regel die ich nicht gefunden habe?

 

Vielen Dank.

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2 Antworten
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Deine erste Aussage ist schonmal nicht korrekt. An den Exponenten kannst Du nur Achsensymmetrie bez. der y-Achse und Punktsymmetrie bez. (0,0) ablesen. Für andere Symmetrien musst Du rechnen. Der Graph einer Funktion \(f\) liegt punktsymmetrisch zum Punkt \((a,b)\), wenn gilt:

\(f(a+x)-b=f(a-x)+b\)

Der Graph von \(f(x)=2x^3+4x^2+2x+1\) liegt punktsymmetrisch zum Punkt \((-\frac23, \frac{23}{27})\), das ist der Wendepunkt. Kann man auch nachrechnen.

 

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Lehrer/Professor, Punkte: 39.04K

 
Danke dir, das habe ich nun verstanden, dass man lediglich A.S. und P.S. ablesen kann. Wie komme ich denn aber auch den Punkt (-1|-4) bei f(x)=(x^2-2x+1)/(x+1), wenn ich lediglich diese Funktion gegeben habe? Ist das irgendwie mit der Asymptote oder den Polstellen verbunden? Oder hat das etwas mit dem Definitionsbereich zu tun, dieser wäre ja D=R\{-1}?
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Woher wusstest du denn jetzt, dass die Funktion punktsymmetrisch zu diesem Punkt liegt? Also wie hast du das berechnet, ohne die Punkte zu kennen quasi?   ─   premiumgrade 27.09.2020 um 13:10
Danke. Eine letzte Frage: Sieht man beim Betrachten der Funktion, dass diese punktsymmetrisch zu einem Punkt sein muss? Meine Frage soll darauf abzielen, dass wenn ich lediglich die Aufgabenstellung habe: "Führen Sie eine Kurvendiskussion durch" und dort u.a. die Symmetrie berechnet/gezeigt werden soll. Gibt es eine Möglichkeit hier zu sehen ob es sich lohnt die Rechnung aufzustellen und die Zeit zu investieren oder macht man bei einer Polstelle die Berechnung einfach und wenn sie aufgeht hat man die Symmetrie? Ich hoffe du verstehst was ich meine.   ─   premiumgrade 27.09.2020 um 13:41
Danke dir.   ─   premiumgrade 27.09.2020 um 14:16

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Also deine erste Antwort ist schonmal korrekt. Wenn du Punktsymmetrie zu einem Punkt überprüfen willst, dann gilt immer:

\(f(x_0+h)-y_0=-f(x_0-h)+y_0\)

Wobei \(x_0\) und \(y_0\) jeweils für die x und y Koordinate des Punkts stehen. Versuch es damit mal, hier kannst du das auch noch genauer nachlesen:

https://www.mathebibel.de/punktsymmetrie-zu-einem-beliebigen-punkt

Ich würde so etwas nicht nach Regeln, sondern immer rechnerisch überprüfen, dann biste safe. Bei Fragen gerne melden!

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Schüler, Punkte: 5.03K

 
Danke dir.
Das Problem ist jedoch, dass in der Aufgabenstellung kein Punkt o.ä. gegeben ist. Also lediglich die Funktion und dann dass ich diese auf Symmetrie untersuchen soll. Es sind also keine Koordinaten gegeben....
Mich irritiert nur, dass es eine Punktsymmetrie gibt, wenn doch der Zähler keine Symmetrie aufweist und somit die gesamte Fkt. doch eigentlich keine aufweisen sollte.   ─   premiumgrade 27.09.2020 um 12:22
Hmm, habe den Punkt jetzt auch nochmal rechnerisch überprüft und komme auch auf keine Symmetrie, da beide Terme unterschiedlich sind.   ─   feynman 27.09.2020 um 12:35

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