Binomialkoeffizienten Beweis

Aufrufe: 2495     Aktiv: 10.07.2020 um 20:43
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Hallo ich komme bei diesem Beweis nicht weiter.. ich versuche die durch vollständige Induktion zu lösen

\(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^{n}\)

 

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Verwende die folgende Gleichung:

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Am besten verwendet man hier die rekursive Definition des Binomialkoeffizienten:

\( \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} \)

für \( n \ge k \ge 1\).

Damit erhält man

\( \sum_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \) \( = 2 + \sum_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \) \( = 2 + \sum_{k=1}^n ( \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} ) \) \( = 2 + \sum_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \sum_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} \) \( = 2 + \sum_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \sum_{k=0}^{n-1} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \) \( = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \) \( = 2^n + 2^n = 2^{n+1} \)

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Danke für die Antwort doch bei deinem zweiten Schritt \(2 + \sum_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix}\) woher kommt die 2 + her ?   ─   danny96 10.07.2020 um 19:08
Das kommt daher, dass \({{n+1}\choose{n+1}}={{n+1}\choose{0}}=1\).   ─   benesalva 10.07.2020 um 19:10
danke dir, kurze Frage noch welche Rechenregel gilt wenn ich \(\begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}\) habe, also was kommt daraus   ─   danny96 10.07.2020 um 20:01
Kannst du genauer erläutern was du meinst. Verstehe gerade nicht wirklich, worauf du hinaus willst.
   ─   benesalva 10.07.2020 um 20:13
bei uns in den Lösungen sind die von = \(\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}\) auf
\(\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\) gekommen   ─   danny96 10.07.2020 um 20:22
also verstehe nicht ganz wie die von \(\begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix}\) auf \(\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\) kommen   ─   danny96 10.07.2020 um 20:23
Also das macht meines Erachtens keinen Sinn. Kannst du vlt die komplette Lösung mal reinstellen?   ─   benesalva 10.07.2020 um 20:27
Ja habe ich hochgeladen unter meiner Frage   ─   danny96 10.07.2020 um 20:29
Die Lösung macht überhaupt keine Sinn. Wenn du in der Summe \(\sum\limits_{k=0}^n{{n}\choose{k-1}}\) für \(k=0\) einsetzt kommt ja \({{n}\choose{-1}}\) raus, was gar nicht definiert ist.   ─   benesalva 10.07.2020 um 20:32
verwirrt mich auch alles, wollte eigentlich die Lösung vom Prof nachvollziehen können   ─   danny96 10.07.2020 um 20:36
Dann erkläre deinem Prof, dass seine Lösung keine Sinn macht. :D   ─   benesalva 10.07.2020 um 20:37
hahahahah aber danke dir trotzdem   ─   danny96 10.07.2020 um 20:39
Ja wirklich. So wie es dasteht ist es schlicht und ergreifend falsch,   ─   benesalva 10.07.2020 um 20:43

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