Wann Binomialverteilung und wann Kombinatorik?

Aufrufe: 1009     Aktiv: 18.04.2020 um 21:34
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Hallo,

kann mir jemand erklären, wann man Binomialverteilung nutzen darf? 

Beispiel:

Wie wahrscheinlich ist es beim 10-maligen Ziehen mit Zurücklegen einer Kugel aus einem Topf mit 2 roten und einer grünen Kugel:

a) genau eine grüne Kugel zu ziehen?

b) höchstens eine grüne Kugel zu ziehen?

Mein Ansatz wäre:

a) geordnet und mit ZL => N=3^10

P= (1 × 2^9)/3^10 = 0.00867

b) 2^9/3^10  + 2^10/3^10 = 0.026

 

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Schüler, Punkte: 33

 
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Um eine Bernoulli-Formel anwenden zu können müssen grundsätzlich erstmal diese Bedingungen erfüllt sein:

  1. Es gibt genau 2 Ereignisse (Treffer - kein Treffer): trifft zu (grün - rot)
  2. Die Treffer-Wahrscheinlichkeit \( p \) muss gleichbleiben, d. h. die Experimentbedingungen müssen gleichbleiben: trifft zu, da mit Zurücklegen (also immer die gleiche Zusammensetzung an Kugeln)

Hoffe, das hilft dir schonmal
LG, Miri

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In beiden Aufgaben brauchst du die Binomialverteilung. Du hast \(n=10\) Ziehungen ohne zurückzulegen, die Wahrscheinlichkeit eine grüne Kugel zu ziehen ist \(p=\frac{1}{3}\). \( X\) ist die Anzahl der gezogenen grünen Kugeln und ist binomialverteilt.

a) hier ist \(P(X=1)\) gesucht.

b) hier ist \(P(X=0)+P(X=1)\) gesucht.

Nun brauchst du nur noch die Formel für die Binomialverteilung:

\(P(X=k)=\binom nk p^k (1-p)^{n-k}\)

und nun müssen noch die Variablen k,n und p eingesetzt werden.

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Student, Punkte: 4.59K

 
Danke. Im Text steht mit Zurücklegen nicht ohne. Darf ich die Formel trotzdem so nutzen?   ─   matab425 17.04.2020 um 20:37
Weil der Binomialkoeffizient soweit ich weiß die Anzahl der Möglichkeiten bei (ungeordnet, ohne Zurücklegen) beschreibt.   ─   matab425 17.04.2020 um 20:41
Es ist anders herum. Wenn mit Zurücklegen gezogen wird, bleibt die Wahrscheinlichkeit gleich und man kann die Binomialverteilung verwenden.   ─   holly 17.04.2020 um 20:59
Ach so, das ergibt Sinn. Vielen Dank : )   ─   matab425 17.04.2020 um 21:23
Noch eine Frage:
Wie würde man dieselbe Frage mittels Kombinatorik lösen?
Ist die Reihenfolge da relevant?   ─   matab425 18.04.2020 um 13:23
Im Grunde genommen, hat man durch den Binomialverteilung schon kombinatorische Mittel verwendet. Man könnte evtl. das ganze durch ein Baumdiagramm lösen. Aber so richtig weiß ich nicht, was mit "mittels Kombinatorik lösen" gemeint ist. Grüße   ─   holly 18.04.2020 um 21:27
Schon gut. Ich meinte damit die Regeln für "geordnet, mit Zurücklegen", "geordnet, ohne Zurücklegen", "ungeordnet, mit Zurücklegen" etc.
also z.B. Anzahl der Möglichkeiten = n^k für "geordnet, mit Zurücklegen".

Aber ich glaube, diese Formeln gelten nicht für mehrmaliges Ziehen.   ─   matab425 18.04.2020 um 21:33
Vielen Dank auf jeden Fall!   ─   matab425 18.04.2020 um 21:34

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