Darstellende Matrix gesucht.

Erste Frage Aufrufe: 514     Aktiv: 24.01.2021 um 18:10
0

Aufgabe:

Wir betrachten die Basis \( \mathcal{B}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \) des \( \mathbb{R}^{3} \) mit
\[
b_{1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \quad b_{2}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \quad b_{3}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right)
\]
Sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) diejenige lineare Abbildung, die
\[
f\left(b_{1}\right)=b_{2}, \quad f\left(b_{2}\right)=b_{3}, \quad f\left(b_{3}\right)=b_{1}
\]
erfüllt
(a) Sei \( \mathcal{E}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) \) die kan onische Basis des \( \mathbb{R}^{3} \). Bestimmen Sie die darstellenden Matrizen des Ba siswech sels \( M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{B}} \) und \( M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{E}} \)
(b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von \( M_{B}^{\mathcal{B}}(f) \) von \( f \) bez. \( \mathcal{B} \).

 Meine Lösung:

(a) \( M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{B}}=  \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] \) und \( M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{E}} = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right] \)

Jetzt komme ich bei der (b) nicht weiter. Kann mir da jemand helfen?

Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 10

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1

Die (b) ist eigentlich sehr einfach: Du musst die Bilder der Basisvektoren bestimmen und diese dann als Linearkombination der Basisvektoren schreiben. Z.B. $$f(b_1)=b_2=0\cdot b_1+1\cdot b_2+0\cdot b_3.$$ Also ist die erste Spalte deiner Darstellungsmatrix \((0,1,0)^t\). Dasselbe machst du noch für die anderen zwei Vektoren, und schon bist du fertig.

Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 11.27K

 
Davon habe ich schon gehört. Kann die Methode allerdings nicht nachvollziehen, Gibt es auch eine Möglichkeit die (b) mit Hilfe von den Matrizen aus Aufgabe (a) zu bestimmen?   ─   hendrik321 24.01.2021 um 16:27
1
Du kannst natürlich auch erst die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis aufstellen, und dann einen Basiswechsel mithilfe der Matrizen aus (a) durchführen. Das ist aber sehr aufwendig, eigentlich kann man die Matrix ja direkt ablesen, wenn einem klar ist, wie die Darstellungsmatrix definiert ist.   ─   stal 24.01.2021 um 16:29
Du meinst also so: \( M_{B\rightarrow B}=M_{E\rightarrow B}*M_{E\rightarrow E}*M_{B\rightarrow E} \)   ─   hendrik321 24.01.2021 um 16:33
1
Genau, das wäre eine Möglichkeit. Aber dazu musst du halt erst die Darstellungsmatrix von \(f\) bezüglich der Standardbasis berechnen, was viel aufwendiger ist, als die Darstellungsmatrix bzgl. \(B\) direkt aufzuschreiben.   ─   stal 24.01.2021 um 16:40
Ja das stimmt. Aber ich habe noch nicht so ein Umfangreiches wissen in dem Thema ;D   ─   hendrik321 24.01.2021 um 16:43
Kannst du mir gerade nochmal bei der Berechnung von M e nach e helfen? Ich schreibe doch die Matrix b und f nebeneinander und bringe b auf die NZSF. Und das wende ich dann auch auf f an. Und dann wäre f mein M e nach e oder habe ich da gerade einen Denkfehler?

EDIT: "Darstellungsmatrix von f
bezüglich der Standardbasis berechnen"

Das brauche ich ^^   ─   hendrik321 24.01.2021 um 16:59
Das ist eine mögliche Herangehensweise, ja. Einfacher ist es, \(f(e_1),f(e_2),f(e_3)\) zu berechnen und die Ergebnisse nebeneinander in eine Matrix zu schreiben.   ─   stal 24.01.2021 um 17:08
E1.... E3 ist ja die kanonische Basis. Also:

1 0 0
0 1 0
0 0 1   ─   hendrik321 24.01.2021 um 17:12
Ja.   ─   stal 24.01.2021 um 17:13
Wenn ich es so mache, wie ich es oben gesagt habe, komme ich auf:

0 1 1
1 0 0
1 1 0

Und wenn ich das einsetze, habe ich als Endergebnis:

0 1 1
1 0 1
0 1 0

Ist das dann korrekt?
   ─   hendrik321 24.01.2021 um 17:14
Die erste Spalte stimmt, der Rest nicht. Du hast dich wohl irgendwo verrechnet. Du kannst gerne ein Bild von deinem Rechenweg hochladen.   ─   stal 24.01.2021 um 17:23
https://www.bilder-upload.eu/bild-43248c-1611506037.jpeg.html

Hier   ─   hendrik321 24.01.2021 um 17:34
Die Matrixmultiplikationen stimmen, aber die Matrix \(M_E^E\) ist schon falsch. Du musst anfangen mit der Matrix \((b_1,b_2,b_3|f(b_1),f(b_2),f(b_3))\) und dann die linke Seite durch Zeilenumformungen in eine Einheitsmatrix umformen.   ─   stal 24.01.2021 um 17:40
Meinst du so:

1 0 1 | 0 1 1
0 1 0 | 1 0 0
0 1 1 | 1 1 0

Dann brunge ich die linke seite in diese Form:
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Und die recht sieht dann so aus:

0 0 1
1 0 0
0 1 1

Und wenn ich das als mein M e nach e nutze und einsetze bekomme ich als Endergebnis:

1 -1 0
1 0 0
-1 2 1   ─   hendrik321 24.01.2021 um 17:54
Ich habe es falsch herum gemacht...   ─   hendrik321 24.01.2021 um 17:58
Bist du dir sicher, das es so geht? Ich habe es anders herum gemacht und das ist mein Endergebnis:

1 0 2
1 0 1
-1 1 -1   ─   hendrik321 24.01.2021 um 18:10

Kommentar schreiben