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Zeige mittels vollständiger Induktion, dass \(a_n\leq3-2^{-n}\). Im Induktionsschritt kannst du dabei verwenden, dass \(a_{n+1}=a_n\left(1+\frac1{2^{n+1}}\right)\) gilt. Das ist eine einfache Rechnung. Daraus folgt, dass \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) nach oben beschränkt ist, offensichtlich ist die Folge auch monoton wachsend. Monoton wachsende beschränkte Folgen sind aber konvergent.
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stal
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danke für den Hinweis! Nur hab ich ne kurze Frage,wenn n gleich 1 ist,dann ist doch 1+1/2 größer als3-2 oder?
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anonymab10e
12.05.2021 um 10:06
Oh, tut mir leid, das ist natürlich Quatsch. Es sollte \(a_n\leq3-2^{-n}\) heißen, ich hab das Minus vergessen. Ich bessere es auch gleich aus.
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stal
12.05.2021 um 10:09
Danke sehr! Ich hab gelöst! Noch möchte ich fragen,wie bekommt man die Idee mit 3-2^-n,weil mit deiner Hilfe hab ich schnell verstanden aber selbst hab ich überhaupt keine Ahnung wie ich anfangen soll
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anonymab10e
12.05.2021 um 10:28
Als erstes solltest du ein paar Folgenglieder berechnen, dann kommt man auf die Vermutung, dass die Folge konvergiert und der Grenzwert in der Nähe von 2,5 liegt. Da es nicht so aussieht, als könne man den Grenzwert direkt einfach berechnen, kann man sich überlegen, wie man Konvergenz sonst zeigen soll. Da die Folge offensichtlich monoton steigend ist, bietet sich an, Beschränktheit zu zeigen. Da wir schon vermuten, dass die Folge gegen ungefähr 2.5 konvergiert, bietet sich 3 als eine "schöne" obere Schranke an. Wir wollen also eine Abschätzung in der Form \(a_n\leq3-f(n)\) finden. Hier muss man einfach rumprobieren und ein Gefühl dafür entwickeln, was funktionieren könnte. Da Terme der Form \(\frac1{2^n}\) in der Aufgabe vorkommen, ist das auch keine vollkommen überraschende Wahl.
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stal
12.05.2021 um 10:46
achso，Vieken Dank！
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anonymab10e
13.05.2021 um 17:42