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Punktweise Konvergenz ist eigentlich einfach: Wogegen konvergiert \(e^{-x/n}\) für \(n\to\infty\)? Unterscheide \(x=0\) und \(x\neq0\).
Für die gleichmäßige Konvergenz gibt es einen wichtigen Satz: Konvergiert \((f_n)_n\) gleichmäßig gegen \(f\) und sind alle \(f_n\) stetig, dann ist auch \(f\) stetig. Ist die Grenzfunktion stetig?
Für die gleichmäßige Konvergenz gibt es einen wichtigen Satz: Konvergiert \((f_n)_n\) gleichmäßig gegen \(f\) und sind alle \(f_n\) stetig, dann ist auch \(f\) stetig. Ist die Grenzfunktion stetig?
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stal
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Ups, da hatte ich einen Denkfehler. Die Grenzwertfunktion ist einfach konstant 1, was stetig ist und uns damit nicht weiterhilft. Angenommen, die Konvergenz wäre gleichmäßig. Dann gäbe es für \(\varepsilon=\frac12\) ein \(N\in\mathbb N\), sodass \(|f_N(x)-1|<\frac12\) für alle \(x\). Allerdings gilt \(\lim_{x\to\infty}f_n(x)=0\) für alle \(n\), also gibt es für dieses \(N\) ein \(x\) mit \(|f_N(x)-0|<\frac12\), Widerspruch.
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stal
04.02.2021 um 12:47
ich hätte dazu noch eine Frage
wie kommt man darauf, dass e=1/2 ist ? ─ lawena 04.02.2021 um 12:54
wie kommt man darauf, dass e=1/2 ist ? ─ lawena 04.02.2021 um 12:54
Du überlegst dir zuerst, dass der Widerspruch zwischen der Konvergenz gegen 1 und dem Grenzwertverhalten gegen 0 auftritt, und dann schaust du, wie du das sauber aufschreiben kannst. Dazu solltest du ein \(\varepsilon\) wählen. Es funktioniert mit jedem \(\varepsilon<1\), aber \(\frac12\) fand ich wegen der Symmetrie ganz schön.
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stal
04.02.2021 um 13:02
warum geht die folge für x gegen unedlich gegen 0 ?
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lawena
04.02.2021 um 13:18
Für festes \(n\) und \(x\to\infty\) geht \(-\frac xn\to-\infty\), also \(e^{-x/n}\to0\)
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stal
04.02.2021 um 14:30
ahh, ok ja dankeschön
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lawena
04.02.2021 um 15:49
aber woher weiß man ob sie stetig ist ? ─ lawena 04.02.2021 um 12:39