zz: $(c_n)_{n \in N}$ ist eine Cauchy-Folge komplexer Zahlen $\iff \Re (c_n)_{n \in N}$ und $\Im(c_n)_{n \in N}$ sind Cauchy-Folgen.

Hier mein Lösungsweg:
Zeige =>
Sei cn eine Cauchyfolge mit $c_n = a_n+i*b_n, c= a+ib$ und $\lim\limits_{n\to\infty}c_n = c$, $a_n,b_n \in R$
Dann gilt: $\forall \epsilon>0 \exists N \in \mathbb{N}\forall n,m \geq N: |c_n-c_m|< \epsilon$, dauraus folgt:
$$|a_n-a_m|=|\Re(c_n-c_m)| \leq |c_n-c_m| < \epsilon$$
$$|b_n-b_m|=|\Im(b_n-b_m)| \leq |c_n-c_m| < \epsilon$$
==> $a_n=\Re(c_n)$ und $b_n=\Im(c_n)$ sind Cauchyfolgen

Zeige <=

Seien $a_n,b_n$ Cauchyfolgen
=> Zu $\frac {\epsilon}{2}$ existieren $N_1, N_2$, sodass:
$|a_n-a_m|< \epsilon$ und $|b_n-b_m|< \epsilon$

Sei $N_0 = max(N_1,N_2)$, dann gilt $\forall n \geq N_0$:
$$|c_n-c_m| = (?) = |(a_n - a_m)+i(b_n-b_m)| \leq (?) \leq |a_n-a_m| + |b_n-b_m| < \frac {\epsilon}{2} + \frac {\epsilon}{2} = \epsilon$$
==> $(c_n)_n$ ist eine Cauchy-Folge.

Beim ersten (?) wollte ich fragen, ob man das so machen kann. Ich habe das etwas aus dem normalen Konvergenzbeweis, den ich vorher geführt habe, abgekupftert.
Beim zweiten (?) wollte ich wissen, ob man die Dreiecksungelichung so anwenden kann, weil ich nicht genau weiß, wie die sich im komplexen verhält.

MfG Michi