Wenn überall \(\operatorname{grad} g(x,y)=0\) gelten würde, wäre \(g\) konstant, somit könntest du jede injektive \(C^1\)-Funktion nehmen.

Also nimmst du an, dass das nicht der Fall ist und wählst ein \((x_0,y_0) \in \mathbb R^2\)  mit \(\operatorname{grad} g(x_0,y_0) \ne 0\). Du kannst annehmen, dass \(\frac{\partial g}{\partial y}(x_0,y_0) \ne 0\)  ist, sonst vertauscht du im Folgenden die Rolle von \(x_0\)  und \(y_0\). Setze \(F(x,y) = g(x,y) - g(x_0,y_0)\). Dann ist \(\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0) \ne 0\) und \(F(x_0,y_0) = 0\). Nun wendest du den Satz über implizite Funktionen an und erhältst ein offenes Intervall \(I\) um \(x_0\) und eine \(C^1\)-Funktion \(h \colon I \to \mathbb R\), so dass \(F(x,h(x)) = 0\) für alle \(x \in I\). Jetzt wählst du ein abgeschlossenes Intervall \([-a,a] \subset I\) um \(x_0\) und setzt \(f(t) = (at, h(at))\). Dann gilt \(F(f(t)) = F(at,h(at))= 0\) für alle \(t \in [-1,1]\), also ist \(g(f(t)) = g(at,h(at))= g(x_0,y_0)\) konstant.