Die Aussage
  \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{q}{n}\right)^n = e^q\)
für \(q\in\mathbb{N}\) könnte man wie folgt mit vollständiger Induktion beweisen:

Der Induktionsanfang "q=1" folgt aus dem Hinweis.

Der Induktionsschluss "q=>q+1" geht skizzenhaft so:
Man zeigt zunächst \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{q}{n^2}\right)^n = 1\;\;\;(1)\).
Das geht über die binomische Formel:
\(\displaystyle \left(\frac{q}{n^2}+1\right)^n = \sum_{k=0}^n \underbrace{\binom{n}{k} \frac{q^k}{n^{2k}}}_{a_k}\).
Dann kann man zeigen: \(a_k\) fällt mind. um den Faktor n, wenn k um eins anwächst, d.h.
\(\displaystyle a_{k+1} \le \frac{a_k}{n}\).
Also ist \(\displaystyle a_k \le \frac{1}{n^k} a_0 = \frac{1}{n^k}\).
Also ist \(\displaystyle \left(\frac{q}{n^2}+1\right)^n= \sum_{k=0}^n a_k \;\le\; \sum_{k=0}^n \frac{1}{n^k}\;\stackrel{\mbox{geometrische Reihe}}=\;\;\frac{1-(1/n)^{n+1}}{1-(1/n)}
\;\stackrel{n\rightarrow\infty}\rightarrow\; 1 \).
Es folgt (1).

Dann kann man zeigen:
\(\displaystyle \left(1+\frac{q+1}{n}\right)\;\le\left(1+\frac{q}{n}\right) \left(1+\frac{1}{n}\right) \;\le\left(1+\frac{q+1}{n}\right)\left(1+\frac{q}{n^2}\right) \)
Diese Umgleichung hoch n genommen und den Limes \(n\rightarrow\infty\) genommen liefert:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{q+1}{n}\right)^n
  \;\le\;\lim_{n\rightarrow\infty} \underbrace{\left(1+\frac{q}{n}\right)^n}_{\large\rightarrow e^q} 
          \underbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right) ^n} _{\large\rightarrow e}
  \;\le\; \lim_{n\rightarrow\infty}  
           \left(1+\frac{q+1}{n}\right)^n 
           \underbrace{\left(1+\frac{q}{n^2}\right)^n}_{\large\rightarrow 1} \)
Also:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{q+1}{n}\right)^n
  \;\le\;e^{q+1}
  \;\le\; \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{q+1}{n}\right)^n  \)
Mithin:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{q+1}{n}\right)^n=e^{q+1}\)
Daraus folgt der Induktionsschluss.