Der Satz von der impliziten Funktion liefert das Folgende:

Sei \( F \) eine stetig differenzierbare Funktion. Ist \( F(x,p)=0 \) mit \( \frac{\partial F}{\partial x}(x,p) \neq 0 \), dann lässt sich \( x \) (lokal) als Funktion von \( p \) auffassen und es gilt
\( \frac{d x}{d p}(x,p) = - \frac{\frac{\partial F}{\partial p}(x,p)}{\frac{\partial F}{\partial x}(x,p)} \).

Für die Aufgabe bedeutet das:

Wir setzen die Nebenbedingung in die Gewinnfunktion ein und stellen die Bedingung erster Ordnung auf. Wir leiten also die Funktion \( pf(x) - wx \) nach \( x \) ab und setzen gleich Null. Es ergibt sich \( pf^\prime(x) - w = 0 \).

Es ist nun \( F(x,p) = pf^\prime(x)-w \) eine stetig differenzierbare Funktion. Da \( F(x,p) = 0 \) und \( \frac{\partial F}{\partial x}(x,p) = pf^{\prime \prime}(x) \neq 0 \) ist, lässt sich \( x \) (lokal) als Funktion von \( p \) auffassen und es gilt

\( \frac{d x}{d p}(x,p) \) \( = - \frac{\frac{\partial F}{\partial p}(x,p)}{\frac{\partial F}{\partial x}(x,p)} \) \( = - \frac{f^\prime(x)}{p f^{\prime \prime}(x)} \) \( = - \frac{\frac{F(x,p)+w}{p}}{p f^{\prime \prime}(x)} \) \( = - \frac{\frac{w}{p}}{p f^{\prime \prime}(x)} \) \( = - \frac{w}{p^2 f^{\prime \prime}(x)} \).

Bis auf das Vorzeichen entspricht das dem, was du als Musterlösung hingeschrieben hast.