Zuerst einmal musst du die Vektorraumaxiome zeigen; deiner Frage entnehme ich, dass das kein Problem für dich ist. Zum minimalem Erzeugendensystem: dies Bezeichnet man auch als Basis und ist dir bestimmt  auch schon ein Begriff. Hier musst du dir eigentlich nur überlegen, welche Dimension der isomorphe \(\mathbb{R}\)-Vektorraum hat und dann schaust du, wie die kanonische Basis im jeweiligem Vektorraum aussehen. Im ersten Fall wäre einer der möglichen Basisvektoren also \((x^3,0,0,0)\). Kommst du jetzt mit den anderen Basisvektoren weiter?