Nullstellen: Es gilt \(\exp (-a\, t^2)> 0\) für alle \(t\), damit ist auf jeden Fall auch \(f(x)\ge 0\) für alle \(x\). Beim Integrieren können sich also Flächen unter der x-Achse nicht mit Flächen über der x-Achse verrechnen (wie z.B. beim \(\sin\)), denn die zu integrierende Funktion liegt ja durchweg über der x-Achse. Also: Gibt es überhaupt eine Möglichkeit, dass das Integral =0 wird, also dass \(f(x)=0\) ist? Wenn ja, für welches x?
Wendestellen:
Du kennst ja den Satz \(\int_a^b g(t)\, dt = G(b)-G(a)\), wenn \(G\) eine Stammfunktion zu \(g\) ist, d.h. \(G'=g\).
Nun betrachten wir \(g(t)=\exp (-a\,t^2)\). Angenommen, wir hätten eine Stammfunktion \(G\) zu \(g\) (ja, die gibt es, aber die kann man nicht leicht beschreiben, aber wir brauchen sie hier auch nicht zu kennen). Schreibe \(f(x)\) mit \(G\) um, dann starte die übliche Wendestellen-Rechnung.