Hey,

du sollst nur zeigen, dass die gegebene Funktion eine Lösung deiner Differentialgleichung ist. Dafür musst du die Funktion entsprechend ableiten (Achtung Produktregel beachten) und dann die jeweiligen Ableitungen in die Gleichung einsetzen und schauen, ob da eine wahre Aussage bei raus kommt.

Wenn ja, dann ist die gegebene Funktion eine Lösung deiner Differentialgleichung.

Die Ableitungen sind dann \( f'(x) = e^x (x + 1) \) und \( f''(x) = e^x(x+2) \)

Wenn du das nun einsetzt, dann bekommst du: \( e^x(x+2) - e^x(x+1) - e^x = 0 \).

Jetzt kannst du \( e^x \) ausklammern und erhältst: \( e^x ( (x+2) - (x+1) - 1 ) = 0 \)

Wenn du die Klammer dann sauber ausrechnest, bekommst du \( e^x \cdot 0 = 0 \), was eine wahre Aussage ist. Somit ist die Funktion eine Lösung deiner Differentialgleichung

VG
Stefan

Die erste Ableitung ist \(f'(x)=e^x+e^xx=(1+x)e^x\) und die zweite Ableitung ist \(f''(x)=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x\). Es gilt also $$f''(x)-f'(x)-e^x=(2+x)e^x-(1+x)e^x-e^x=(2+x-1-x-1)e^x=0\cdot e^x=0$$