Der Kerngedanke ist für alle drei Aufgaben gleich. Ich rechne dir mal die a) vor, dann kannst du den Rest hoffentlich selber lösen.

Wir nehmen an, wir hätten die Funktion \(f\) schon gefunden. Dann gilt

\( x \cdot \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \varepsilon_f(x) = h(x)=1+x=x \cdot (\frac{1}{x}+1) \)

Es muss also \( \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{x}+1 \) sein. Und somit erhalten wir

\( ln(f(x))= \int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \ dx = \int \frac{1}{x}+1 \ dx= ln(x)+x \)

also \(f(x)= e^{ln(f(x))} = e^{ln(x)+x} = e^{ln(x)} \cdot e^x=x \cdot e^x \).

Bei dieser Methode muss man jetzt noch überprüfen, dass die Funktion \( f(x)=x \cdot e^x \) auch wirklich die Bedingungen erfüllt. Es gilt: \(f\) lässt sich offensichtlich als differenzierbare Funktion \( (0, \infty) \to (0,\infty) \) auffassen und es gilt

\( \varepsilon_f(x) = x \cdot \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = x \cdot \frac{1 \cdot e^x+x \cdot e^x}{x \cdot e^x} = 1+x = h(x) \)