Eine Menge \(M\) ist genau dann überabzählbar, wenn sie nicht endlich und nicht gleichmächtig mit den natürlichen Zahlen ist. Gemäß dem Supremumsaxiom (oder alternativ Archimedisches Axiom) sind die reellen Zahlen nicht endlich. Nun musst du also nur noch zeigen, dass sie nicht gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen ist. Die Funktion \(f\) mit dem Definitionsbereich \((0,1)\) und Zielbereich \(\mathbb{R}\) und mit \(f(x)=\tan(\pi x+\frac {\pi}2)\) ist eine Bijektion vom Intervall \((0,1)\) auf \(\mathbb{R}\), also sind die reellen Zahlen gleichmächtig zum Intervall \((0,1)\). Von diesem Intervall gibt es jedoch nach Dezimalbruchentwicklung keine Bijektion in die natürlichen Zahlen.