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Wie auch in der Aufgabenstellung steht, ist die Äquivalenzklasse \([(a_n)_{n\in\mathbb N}]=\{(b_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathcal C\ |\ (a_n)_{n\in\mathbb N}\sim(b_n)_{n\in\mathbb N}\}\) die Menge aller Cauchyfolgen, die zu \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) äquivalent sind.
Für die (a) musst du zeigen: Seien \([(a_n)_{n\in\mathbb N}],[(b_n)_{n\in\mathbb N}]\in\mathcal C/\sim\) zwei Äquivalenzklassen, weiter \((a'_n)_{n\in\mathbb N}\in[(a_n)_{n\in\mathbb N}],(b'_n)_{n\in\mathbb N}\in[(b_n)_{n\in\mathbb N}]\). Dann gilt $$\hat d([(a_n)_{n\in\mathbb N}],[(b_n)_{n\in\mathbb N}])=\lim_{n\to\infty}d(a_n,b_n)\overset!=\lim_{n\to\infty}d(a_n',b_n')=\hat d([(a'_n)_{n\in\mathbb N}],[(b'_n)_{n\in\mathbb N}])$$ wobei du die Gleichheit mit dem ! zeigen musst. Das heißt eben, dass der Wert von \(\hat d\) unabhängig davon ist, welche Folge aus der Äquivalenzklasse (also zum Beispiel \((a_n)_n\) oder \((a'_n)_n\)) man wählt.
Bei der (b) musst du einfach die Eigenschaften einer Metrik nachrechnen. Weißt du, wie eine Metrik definiert ist?
Für die (a) musst du zeigen: Seien \([(a_n)_{n\in\mathbb N}],[(b_n)_{n\in\mathbb N}]\in\mathcal C/\sim\) zwei Äquivalenzklassen, weiter \((a'_n)_{n\in\mathbb N}\in[(a_n)_{n\in\mathbb N}],(b'_n)_{n\in\mathbb N}\in[(b_n)_{n\in\mathbb N}]\). Dann gilt $$\hat d([(a_n)_{n\in\mathbb N}],[(b_n)_{n\in\mathbb N}])=\lim_{n\to\infty}d(a_n,b_n)\overset!=\lim_{n\to\infty}d(a_n',b_n')=\hat d([(a'_n)_{n\in\mathbb N}],[(b'_n)_{n\in\mathbb N}])$$ wobei du die Gleichheit mit dem ! zeigen musst. Das heißt eben, dass der Wert von \(\hat d\) unabhängig davon ist, welche Folge aus der Äquivalenzklasse (also zum Beispiel \((a_n)_n\) oder \((a'_n)_n\)) man wählt.
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stal
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