Einige Fehler und Unklarheiten habe ich gesehen:

1. Diese Lösung nennt man meist die allgemeine Lösung der homogenen DGL.

2. Es muss heißen: \(y'_s=2c_2x+c_1\).

3. Die partikuläre (spezielle) Lösung \(y_s\) soll die inhomogene DGL erfüllen. Man setzt den Ansatz in die DGL ein, dann müssen linke und rechte Seite übereinstimmen, für alle \(x\). Da auf beiden Seiten Polynome stehen, müssen die jeweiligen Koeffizienten übereinstimmen, für jede Potenz von \(x\). Auch hier \(x_2\) durch \(c_2\) ersetzen, das ist ein Fehler. Daraus folgt das LGS in 4., man nennt dieses Vorgehen Koeffizientenvergleich.

Die allgemeine Lösung der DGL ist dann (allgemeine Lösung der homogenen DGL) +(partikuläre Lösung der inhomogenen DGL). Jetzt passt man noch durch Einsetzen die Konstante \(K\) an, so dass auch die Anfangsbedingung erfüllt ist.

All dies ist Standard und sollte in der Vorlesung behandelt worden sein.

Wenn Du noch konkrete Fragen zu einzelnen Punkten hast, dann melde Dich.

Da eine lineare DHL 1. ordnung vorliegt, kann man auch die entsprechende Lösungsformel verwenden (siehe Videotipp). Das ist eine Alternative zu der Lösung von slanack.