Komposition aus stetig und unstetig gleich stetig?

Erste Frage Aufrufe: 1208     Aktiv: 28.07.2021 um 16:56
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Folgende Frage:
Seien I1, I2, I3 abgeschlossene reelle Intervalle.
Sei f eine stetige, surjektive Funktion f : I1 -> I2.
Sei g eine Funktion g : I2 -> I3.
Die Verkettung / Komposition h(x) = g(f(x)) : I1 -> I3 sei stetig und surjektiv.

Kann ich aus der Stetigkeit von f und h auch die Stetigkeit von g folgern?
Wenn ja: Wie beweise ich das?
Wenn nein: Wie sieht ein Gegenbeispiel aus? D.h. gibt es den Fall, dass f stetig, g unstetig und die Komposition h wieder stetig ist?
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Sorry, hab auch die Voraussetzung "f surjektiv" übersehen. Denke nochmal neu nach.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.04K

 
Tut mir leid, das Gegenbeispiel kann ich noch nicht nachvollziehen. Die Funktion h ist ja die Hintereinanderausführung von g und f (d.h. g nach f). Wenn ich nun z.B. h als konstante Funktion setze und die Funktion g hat eine Unstetigkeit (z.B. eine Sprungstelle) und ich will das durch f ausgleichen, muss ich f ja so wählen, dass auch f unstetig wird. Nach meiner Voraussetzung soll f aber eine stetige Funktion sein.

Die Beispiele, bei denen f und g unstetig, die Komposition aber stetig ist, sind einfach und die kenne ich. Der Fall, dass f bijektiv ist, ist auch einfach, denn in diesem Fall ergibt sich die Stetigkeit von g aus der Stetigkeit von h und der Umkehrfunktion von f.

Kannst Du mir ein Beispiel nennen, bei dem f stetig und surjektiv (aber nicht injektiv), h stetig, aber g unstetig ist?   ─   anonymc5b31 27.07.2021 um 12:38
Danke, das hatte ich mir schon gedacht. Ich habe auch kein Gegenbeispiel gefunden. Ohne die Surjektivität ist es einfach.   ─   anonymc5b31 27.07.2021 um 22:11

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Nach längerem Überlegen bin ich zu einem Beweis gekommen, dass \( g \) unter den entsprechenden Bedingungen stetig sein muss. Da mikn in seiner Antwort aber sagt, dass es ein Gegenbeispiel gibt, habe ich mich wohl irgendwo vertan. Allerdings finde ich meinen Fehler nicht. Vielleicht kann ja jemand mal drüberschauen. Der vermeintliche Beweis sieht wie folgt aus:

Sei \( x \in I_2 \) und \( (x_n) \) eine Folge in \( I_2 \) mit \( x_n \to x \).

Angenommen, die Folge \( (g(x_n)) \) konvergiert nicht gegen \( g(x) \). Dann gibt es ein \( \varepsilon > 0 \) und eine Teilfolge \( (x_{n_k}) \) mit \( \vert g(x_{n_k}) - g(x) \vert \ge \varepsilon \).

Es gilt \( (-\infty, \infty) = \cup_{i=1}^\infty [-i,i] \) und \( (-\infty,b] = \cup_{i=1}^\infty [b-i,b] \) und \( [a,\infty) = \cup_{i=1}^\infty [a,a+i] \) sowie \( [a,b] = \cup_{i=1}^\infty [a,b] \). Da jedes abgeschlossene Intervall von dieser Form ist, gibt es also kompakte Intervalle \( J_1 \subseteq J_2 \subseteq J_3 \subseteq \dots \) mit \( I_1 = \cup_{i=1}^\infty J_i \).

Da \( I_2 \) abgeschlossen ist, sind \( \inf\{x_{n_k}\}, \sup\{x_{n_k}\} \in I_2 \), und da \( f \) surjektiv ist, gibt es somit \( a,b \in I_1 \) mit \( f(a)=\inf \{x_{n_k}\} \) und \( f(b)=\sup\{x_{n_k}\} \). Wegen der Darstellung \( I_1 = \cup_{i=1}^\infty J_i \) gibt es dann \( n_a, n_b \in \mathbb{N} \) mit \( a \in J_{n_a} \) und \( b \in J_{n_b} \) und somit \( a,b \in J_{\max\{n_a,n_b\}} \). Wir erhalten also \( \inf\{x_{n_k}\}, \sup\{x_{n_k}\} \in f(J_{\max\{n_a,n_b\}}) \), und da stetige Bilder von zusammenhängenden Mengen wieder zusammenhängend sind, folgt \( [ \inf\{x_{n_k}\}, \sup\{x_{n_k}\} ] \subseteq f(J_{\max\{n_a,n_b\}}) \).

So erhalten wir eine Folge \( (z_k) \) in \( J_{\max\{n_a,n_b\}} \) mit \( f(z_k)=x_{n_k} \). Da \( J_{\max\{n_a,n_b\}} \) kompakt ist, gibt es eine konvergente Teilfolge \( (z_{k_l} ) \) mit Grenzwert \( z \in J_{\max\{n_a,n_b\}} \). Aus der Stetigkeit von \( f \) folgt dann \( f(z_{k_l}) \to f(z) \). Außerdem gilt \( f(z_{k_l}) = x_{n_{k_l}} \to x \). Also erhalten wir \( f(z)=x \).

Mit der Stetigkeit von \( h \) ergibt sich nun \( g(x_{n_{k_l}}) = h(z_{k_l}) \to h(z) = g(x) \), insbesondere gibt es also ein \( l \in \mathbb{N} \) mit \( \vert g(x_{n_{k_l}}) - g(y) \vert < \varepsilon \) im Widerspruch zur Annahme.

Wir erhalten also insgesamt \( g(x_n) \to x \) und somit die Stetigkeit von \( g \).
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Student, Punkte: 7.02K

 
Das ist kein gültiges Gegenbeispiel, da \( f \) nicht surjektiv ist.   ─   42 27.07.2021 um 17:36
Ja, das kann man in der Frage schnell übersehen.
Die Surjektivität macht es natürlich schwieriger, ein Gegenbeispiel zu finden. Und wenn mein Beweis keinen Fehler enthält, dann wird es so ein Gegenbeispiel auch nicht geben. Aber vielleicht hat ja noch jemand eine Idee.   ─   42 27.07.2021 um 18:36
Hallo anonym83bed, Danke! Ich habe mir den Beweis angeschaut und finde keinen Fehler. Ich war irgendwie auf der richtigen Spur, habe den Ansatz aber nicht als Widerspruchsbeweis gewählt. Ich hatte ursprünglich nur an abgeschlossene Intervalle mit endlichen Grenzen gedacht, Du hast es aber für alle gezeigt. Sieht gut aus. Ich schaue morgen noch mal drüber, denke aber, es passt so.   ─   anonymc5b31 27.07.2021 um 23:02
Freut mich, wenn ich dir helfen konnte :)
Wenn man nur Intervalle mit endlichen Grenzen zulässt, dann lässt sich der Beweis natürlich noch etwas vereinfachen, aber ich habe zur Sicherheit mal den allgemeineren Fall angenommen.
Ich war erst ein bisschen verunsichert, weil ich nicht alle Voraussetzungen verwendet habe (Die Surjektivität von h und die Abgeschlossenheit von I3). Da bislang aber keiner einen Fehler gefunden hat, denke ich mal, dass das so passt. Wahrscheinlich findet man unter Verwendung aller Voraussetzungen aber auch einen eleganteren Beweis.   ─   42 27.07.2021 um 23:15
Ich hab den Beweis jetzt noch mal ein bisschen abgeändert und komprimiert. Die Annahme, dass \( I_1 \) abgeschlossen ist, wird nun nicht mehr benötigt. Die Argumentation sollte aber trotzdem korrekt sein.

Sei \( x \in I_2 \) und \( (x_n) \) eine Folge in \( I_2 \) mit \( x_n \to x \).

Angenommen, die Folge \( (g(x_n)) \) konvergiert nicht gegen \( g(x) \). Dann gibt es ein \( \varepsilon > 0 \) und eine Teilfolge \( (x_{n_k}) \) mit \( \vert g(x_{n_k}) - g(x) \vert \ge \varepsilon \).

Wegen \( x_{n_k} \to x \) sind \( \inf\{x_{n_k}\} \) und \( \sup\{x_{n_k}\} \) endlich, und da \( I_2 \) abgeschlossen ist, folgt somit \( \inf\{x_{n_k}\}, \sup\{x_{n_k}\} \in I_2 \). Da \( f \) surjektiv ist, gibt es nun \( a,b \in I_1 \) mit \( f(a)=\inf \{x_{n_k}\} \) und \( f(b)=\sup\{x_{n_k}\} \). Da \( I_1 \) als Intervall wegzusammenhängend ist, gibt es einen Weg \( \gamma:[0,1] \to I_1 \) mit \( \gamma(0)=a \) und \( \gamma(1)=b\). Es gilt \( a,b \in \gamma([0,1]) \) und somit \( \inf\{x_{n_k}\}, \sup\{x_{n_k}\} \in f(\gamma([0,1])) = (f \circ \gamma)([0,1]) \), und da \( f \circ \gamma \) als Komposition stetiger Abbildungen wieder stetig ist und da stetige Bilder von zusammenhängenden Mengen wieder zusammenhängend sind, folgt \( [ \inf\{x_{n_k}\}, \sup\{x_{n_k}\} ] \subseteq (f \circ \gamma)([0,1]) \).

So erhalten wir eine Folge \( (z_k) \) in \( [0,1] \) mit \( (f \circ \gamma)(z_k)=x_{n_k} \). Da \( [0,1] \) kompakt ist, gibt es eine konvergente Teilfolge \( (z_{k_l} ) \) mit Grenzwert \( z \in [0,1] \). Aus der Stetigkeit von \( f \circ \gamma \) folgt dann \( (f\circ \gamma)(z_{k_l}) \to (f \circ \gamma)(z) \). Außerdem gilt \( (f \circ \gamma)(z_{k_l}) = x_{n_{k_l}} \to x \). Also erhalten wir \( (f \circ \gamma)(z)=x \).

Aus der Stetigkeit von \( h \) folgt nun die Stetigkeit von \( h \circ \gamma \) und es ergibt sich \( g(x_{n_{k_l}}) = (h \circ \gamma)(z_{k_l}) \to (h \circ \gamma)(z) = g(x) \), insbesondere gibt es also ein \( l \in \mathbb{N} \) mit \( \vert g(x_{n_{k_l}}) - g(y) \vert < \varepsilon \) im Widerspruch zur Annahme.

Wir erhalten also insgesamt \( g(x_n) \to x \) und somit die Stetigkeit von \( g \).   ─   42 28.07.2021 um 00:23
@mikn Erstmal danke für den Input :)
Die Sache mit der nicht-konvergenten Teilfolge kann man (so wie ich das sehe) nicht machen. Also erstmal meinst du wahrscheinlich eine nicht-konvergente Teilfolge \( (g(x_{n_k})) \) und nicht \( (x_{n_k}) \) (Es gilt ja stets \( x_{n_k} \to x \)). Wenn man also annimmt, dass \( (g(x_{n_k})) \) nicht gegen \( (g(x)) \) konvergiert, dann folgt mit der Konvergenz der Teilfolge \( (g(x_{n_{k_l}})) \) gegen \( (g(x)) \) noch kein Widerspruch. Das Epsilon ist also schon wichtig.
Außerdem hast du in deiner Lösung stillschweigend \( a \le b \) angenommen, was man natürlich oBdA machen darf, aber dann zumindest erwähnen sollte. Ich habe dies im modifizierten Beweis umgangen, indem ich einen allgemeinen Weg eingeführt habe.
Die Idee mit dem Zwischenwertsatz ist gut. Topologische Argumente sind da vielleicht wirklich zu schwere Geschütze.   ─   42 28.07.2021 um 00:43
Hallo @anonym83bed, ich habe mir den Beweis jetzt auch noch mal angeschaut.
Zu Deiner ersten Anmerkung: Ja, ich hatte ursprünglich zu viele Voraussetzungen in der Aufgabenstellung. Eigentlich braucht man seitens der Intervalle nur die Voraussetzung, dass I2 ein abgeschlossenes Intervall ist.
Zu Deiner komprimierten Beweisversion: Da denke ich, @mikn hat Recht: Der Umweg über den Wegzusammenhang und das Intervall [0,1] ist nicht notwendig. Aus f(a) = Inf und f(b) = Sup kann man (unter der Annahme OBdA a <= b) gleich zum Intervall [a,b] übergehen, dann den Zwischenwertsatz nutzen und dann auf eine konvergente Teilfolge im Intervall [a,b] schließen, mit der sich der Widerspruch ergibt.

Weitere Anmerkung: Ich bin auf die ganze Frage (und daher auch die abgeschlossenen Intervalle) auch erst bei dem Versuch gestoßen, die Äquivalenz von stetiger reeller Funktion f und Wegzusammenhang des Graphen (x,f(x)) zu zeigen. Die eine Richtung ist einfach (->). Die andere Richtung (Wegzusammenhang -> Stetigkeit von f) geht dann auch einfach, wenn man die von mir angefragte Eigenschaft nutzt.   ─   anonymc5b31 28.07.2021 um 16:43
@anonym83bed, @mikn: Sorry, andere Frage: Ich bin zum ersten Mal auf dem Portal unterwegs. Wie bekommt Ihr eigentlich die Formeln bzw. mathematischen Terme in den Text?
Habe ich da einen Formeleditor im Portal übersehen oder erstellt Ihr das zuerst in Word und kopiert es dann ins Textfeld?   ─   anonymc5b31 28.07.2021 um 16:46

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