Zu 1.) Die erste Inklusion ist einfaches Nachrechnen: Sei \(x\in \mathrm{Kern}(f^j)\). Dann ist \(f^{j+1}(x)=\ldots\) und du kannst das Argument sicher leicht zu Ende bringen. Für den zweiten Teil machst du am besten einen Widerspruchsbeweis: Angenommen, für alle \(k\) wäre \(\mathrm{Kern}(f^{j})\subsetneq\mathrm{Kern}(f^{j+1})\), dann würde die Dimension dieser Unterräume immer größer werden, und zwar immer um mindestens \(1\). Wie folgt daraus der Widerspruch? Den letzten Teil zeigst du mittels Induktion über \(j\in\mathbb N\). Den Induktionsanfang hast du schon, im Induktionsschritt genügt es zu zeigen, dass \(\mathrm{Kern}(f^{m+j})=\mathrm{Kern}(f^{m+j+1})\) gilt. "\(\subseteq\)" haben wir ganz am Anfang gezeigt, es bleibt also noch "\(\supseteq\)" übrig. Sei also \(x\in\mathrm{Kern}(f^{m+j+1})\), dann ist \(0=f^{m+j+1}(x)=f^{j}(f^{m+1}(x))\), d.h. \(f^j(x)\in\mathrm{Kern}(f^{m+1})\). Wie kannst du jetzt weitermachen?

Der 2.) Teil der Aufgabe funktioniert vollkommen analog, im Prinzip musst du nur überall den Kern durch das Bild ersetzen und alle Teilmengenzeichen umdrehen.

Bei 3.) Nach dem Hinweis gilt \(V=\mathrm{Kern}(f^{m})\oplus\mathrm{Bild}(f^m)=\mathrm{Kern}(f^{m+1})\oplus\mathrm{Bild}(f^{m+1})\) und weil die ersten Summanden gleich sind, müssen die zweiten Summanden zumindest isomorph sind, weil sie die gleiche Dimension haben müssen. Da es aber eine Inklusion zwischen den beiden gibt, müssen sie sogar gleich sein. Daraus folgt \(j\leq m\). Die umgekehrte Ungleichung folgt aus einem ähnlichen Argument mit \(j\) statt \(m\) in der Gleichung.