So wie ich deine Frage verstanden habe, geht es darum, ob es einen Unterschied zwischen den folgenden beiden Definitionen gibt.

1) Eine Folge \( (a_n) \) in \( \mathbb R\) konvergiert gegen einen Wert \( a\in \mathbb R\) genau dann, wenn es für jedes \( \epsilon >0 \) ein \( n_0 \in \mathbb N\) gibt, sodass für alle \( n\geq n_0 \) die Ungleichung \( | a_n -a | < \epsilon \) erfüllt ist.

2) Eine Folge \( (a_n) \) in \( \mathbb R\) konvergiert gegen einen Wert \( a\in \mathbb R\) genau dann, wenn es für jedes \( \epsilon >0 \) ein \( n_0 \in \mathbb N\) gibt, sodass für alle \( n\geq n_0 \) die Ungleichung \( | a_n -a | \leq \epsilon \) erfüllt ist.

Diese beiden Definitionen sind tatsächlich äquivalent. Das liegt daran, dass \( \epsilon >0 \) beliebig ist.