Eine vernünftige mathematische Begründung: Der Restterm, der bei der Polynomdivision übrigbleibt hat immer einen höheren Nennergrad als der Zählergrad. Dieser Restterm geht dann für $|x|\rightarrow \infty$ gegen 0, so dass er sich "im Unendlichen" nicht auf den Funktionsgraphen auswirkt und sich die Funktion asymptotisch wie den ganzrationalen Anteil verhält. Wenn du nach der Polynomdivision also $f(x)=g(x) + \frac{z(x)}{n(x)}$ erhältst, wobei der gebrochenrationale Teil gegen 0 geht (siehe oben), gilt also $\lim\limits_{|x|\rightarrow \infty} f(x)=g(x)$, so dass $g(x)$ die asymptotische Kurve beschreibt (in der Regel bezeichnet man mit Asymptoten nur Geraden, weshalb man im Allgemeinen von asymptotischen Kurven spricht).

ich schreib mal ein "Umgekehrtbeispiel" auf

die Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$ hat die x-Achse als Asymptote; addierst du was zum Bruchterm , also z.B. $f(x)=\frac{1}{x}+x+1$, wird die ganze Kurve verschoben und y=x+1 ist die neue Asymptote.

Das bringen wir jetzt mal auf einen gemeinsamen Nenner  $f(x)=\frac{x²+x+1}{x}$, woraus du wiederum durch Polynomdivision die Asymptote herausrechnen kannst und dann nur noch den gebrochenrationalen Restterm hast.