Ansonsten hätte jede gerade Zahl jede gerade Zahl, die kleiner ist, als Teiler, was aber offensichtlich nicht stimmt. Du musst die Rechnung also für die anderen Primteiler auch zeigen.
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Du hast Dich in der Aussagenlogik verstrickt: "wenn Beh., dann ...". Es soll aber aus der Beh. nichts gefolgert werden, sondern die Beh. soll AUS ETWAS anderem gefolgert werden. Du hast nur gezeigt, dass 11 Teiler der Zahl ist. Daraus folgt aber nicht, dass 4147 Teiler der Zahl ist. Also: Aufpassen mit den Folgerungspfeilen.
Dass 11 Teiler ist, sieht man ohne große Rechnung, denn \(12^n-1=12^n-1^n=(12-1)\sum...\), geometrische Summe.
Für die 13 empfehle ich 12=13-1 und den binomischen Lehrsatz.