Hallo Mirednlfatsum,

"berechnet" wird erst im letzten Schritt, vielleicht ist das das Rätselhafte :)

Hier die Schritte, die bei dieser Art von Aufgaben (Ermitteln des Funktionsterms oder auch "Steckbrief") IMMER gemacht werden müssen:

1. Allgemeiner Funktionsterm
Den allgemeinen Term für f mit Variablen formulieren, also bei Polynom 3. Grades mit maximal x hoch 3, wie es rodion26 bereits schön aufgeschrieben hat.

2. Eigenschaften in Bedingungen übersetzen
ALLE Angaben in Bedingungen formulieren (das hat rodion26 Dir leider schon komplett verraten :) ) und jede mit einer römischen Zahl versehen (I, II, III und IV). Jede Bedingung ist dann eine Gleichung und mit den römischen Zahlen hast Du ein "Gleichungssystem"!
Die Bedingungen ergeben sich daraus, dass diese Art von Aufgabe das Gegenteil der Kurvendiskussion ist, z.B. Bedingung von Extremum an der Stelle x ist f'(x)=0. Am besten wäre, wenn Du für die diversen Eigenschaften eine Liste bekommen hättest, die kann man im Internet finden, ich kann notfalls sonst eine mit den Wichtigsten erstellen.

3. Funktionsterm in Bedingungen einsetzen
Den Funktionsterm auf die Bedingungen anwenden, also f mit dem allgemeinen Term aus 1. in den Gleichungen ersetzen wie es mikn Dir beschrieben hat. Tipp: z.B. für f(2) das x im Funktionsterm mit 2 ersetzen.
Wichtig: Schreibe dabei die gleichen römischen Zahlen zu der jeweiligen Gleichung, sonst ist nicht klar, was da passiert.
Damit erhälst Du ein Gleichungssystem mit genauso vielen Gleichungen wie Unbekannten, weshalb es eine eindeutige Lösung (wenn kein Fehler drin ist) für die Variablen gibt! (Wie es rodion26 auch formuliert hat)

4. Werte der Koeffizienten berechnen
Jetzt dieses Gleichungssystem lösen mit den Verfahren, die Du gelernt haben müsstest (Additions-, Gleichsetzungs- oder Einsetzungsverfahren). Wenn unklar, dann empfehle ich das Einsetzungsverfahren - das ist immer möglich und die anderen können verwirren.
Einsetzungsverfahren: Eine beliebige, möglichst einfache Gleichung nach einer beliebigen, möglichst einfachen Variablen auflösen und in eine andere Gleichung einsetzen. Dies bis zur letzten Gleichung fortführen. Dort hast Du dann nur noch eine Variable, kannst also ihren Wert ohne andere Variable berechnen. Diesen Wert nun rückwärts in die vorherigen Auflösungen einsetzen -> Dann hast Du den Wert jeder Variable.

Zum Schluss den Funktionsterm aufschreiben (d.h. "f(x) = ..."), in dem Du die Variablen in der allgemeinen Form von f mit ihren berechneten Werten ersetzt.   

Eine ungerade Funktion ist gekennzeichnet durch

\[ f(x) = - f(-x) \]

Das lokale Minimum bei \(x=2\) bedeutet

\[ f'(2) = 0 \]

Der Funktionswert dort ist

\[ f(2) = -16 \]

Und der erste Koeffizient ist

\[ a = 1 \]

Damit hast du vier Gleichungen, um die vier Koeffizienten \(a,b,c,d\) in

\[f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d \]

zu bestimmen. 

Tipp: Wenn du mit der ersten Gleichung anfängst, wirst du finden, dass \(b = d = 0\). In einem ungeraden Polynom können nur ungerade Potenzen vorkommen.