Hallo Simon

Also es gibt zwei verschiedene Integraltypen wie du bemerkt hast. Einerseits das unbestimmte Integral und das Bestimmte. Der Unterschied ist nur, dass beim bestimmten Integral die Integrationsgrenzen gegeben sind. Aber alles der Reihe nach:

Wir betrachten also eine Funktion \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) die integrierbar ist. 
Wenn du nun ein Integral der Form \(\int f(x) dx\) hast so spricht man von einem unbestimmten Integral da du ja die Integrationsgrenzen nicht kennst. Wenn du dieses Integral berechnen möchtest erhälst du \(\int f(x) dx=F(x)+C\) wobei \(F(x)\) die Stammfunktion von \(f(x)\) ist und \(C\) die Integrationskonstante. Graphisch gesehen verschiebt diese dein \(F(x)\) in y-Richtung nach oben oder unten wodurch die Fläche grösser oder kleiner wird. Die Integrationskonstante erscheint beim unbestimmten Integral da du ja die Integrationsgrenzen nicht kennst und es daher beliebig viele Stammfunktionen gibt. (du musst aber nichts grosses mit dem \(C\) machen sondern jeweils einfach nur hinten ranhängen wenn du ein unbestimmtes Integral berechnest)

Wenn du nun aber \(\int_a^b f(x)dx\) gegeben hast so sprechen wir vom bestimmten Integral. Da kennst du die Integrationsgrenzen und daher fällt auch die Integrationskonstante \(C\) weg wenn du integrierst. Genauer gesagt erhälst du dann \(\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)\) wobei \(F(x)\) auch hier die Stammfunktion von \(f(x)\) ist. 

Nun noch kurz zu deinem Beispiel:
Du hast ein unbestimmtes Integral bekommen \(\int 2x\,dx=x^2+C\) aber wenn du nun sagt ich möchte das Integral dieser Funktion über dem Intervall \([0,1]\) berechnen, was natürlich geht, da die Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\) integrierbar ist dann erhälst du \(\int_0^1 2x\,dx=[x^2]_0 ^1=[x^2]_{x=0}^1=x^2|_0^1=x^2|_{x=0}^1=1\). Hier musst du das nicht so kompliziert machen ich hab dir nur ein paar schreibweisen Aufgezählt die es gibt, also \([x^2]_0 ^1=[x^2]_{x=0}^1=x^2|_0^1=x^2|_{x=0}^1\) heisst alles das gleiche nur einfach verschieden Aufgeschrieben, wähle dir das was dir am liebsten ist und dann genügt es z.b wenn du nur \(\int_0^1 2x\,dx=x^2|_{x=0}^1\) schreibst (meine "Lieblingsnotation" ist eben \(F(x)|_{x=a}^b\) da sie ziemlich übersichtlich ist und du nicht vergisst über welche variabel du integrierst denn es kann ja sein dass deine Funktion vielleicht \(\int_c^d 2ax\,dx\) ist und dann erhälst du \(\int_c^d 2ax\,dx=ax^2|_{x=c}^d\) und so siehst du dass du die c und d nicht für a sondern für x einsetzen musst, aber wie gesagt wähl dir das was du am Besten findest)

Ich hoffe das Hilft.

Grüsse
Karate