Überlegung zur Aufgabe ... sehe im Moment keine einfachere Berechnung ... vielleicht weiß jemand anderes noch einen besseren Weg!

7 Bücher, jede Sprache soll vertreten sein. Z. B. greift man sich ein englisches, ein französisches und fünf deutsche ... oder ein englisches, zwei französische und vier deutsche ... alle Möglichkeiten: 

e  1  1  1  1  1  2  2  2  2  3  3  3  4  4  5

f   1  2  3  4  5  1  2  3  4  1  2  3  1  2  1

d  5  4  3  2  1  4  3  2  1  3  2  1  2  1  1 

Ergibt schon mal 15 Kombinationen unterschiedlicher Sprachzusammensetzung.

Da es sich vermutlich bei allen Büchern um unterschiedliche Bücher handelt, braucht man noch für jede Kombination die entsprechenden Möglichkeiten. Z. B. gibt es ja 9 Möglichkeiten 1 englisches Buch zu wählen und für jede dieser neun Möglichkeiten wieder 7 Möglichkeiten 1 französisches Buch zu wählen und für jede dieser daraus resultierenden 63 Möglichkeiten zahlreiche Möglichkeiten 5 aus 10 deutschen Büchern zu wählen. 

Rechnerisch für die Kombi 1 englisches, 1 französisches und 5 deutsche: \( \left(\begin{array}{c} 9 \\ 1 \end{array}\right) \) \( \cdot \) \( \left(\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}\right) \) \( \cdot \) \( \left(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array}\right) \)

Und folglich für alle Kombinationen zusammen: 

\( \left(\begin{array}{c} 9 \\ 1 \end{array}\right) \) \( \cdot \) \( \left(\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}\right) \) \( \cdot \) \( \left(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array}\right) \) + \( \left(\begin{array}{c} 9 \\ 1 \end{array}\right) \) \( \cdot \) \( \left(\begin{array}{c} 7 \\ 2 \end{array}\right) \) \( \cdot \) \( \left(\begin{array}{c} 10 \\ 4 \end{array}\right) \) + \( \left(\begin{array}{c} 9 \\ 1 \end{array}\right) \) \( \cdot \) \( \left(\begin{array}{c} 7 \\ 3 \end{array}\right) \) \( \cdot \) \( \left(\begin{array}{c} 10 \\ 3 \end{array}\right) \) + \( \left(\begin{array}{c} 9 \\ 1 \end{array}\right) \) \( \cdot \) \( \left(\begin{array}{c} 7 \\ 4 \end{array}\right) \) \( \cdot \) \( \left(\begin{array}{c} 10 \\ 2 \end{array}\right) \) + ...

Das ist insgesamt ein recht langer Term, den man durch Ausklammern noch ein wenig kürzen könnte. Aber wie gesagt, vielleicht gibt es ja noch einen direkteren Weg. :-) Würde mich dann auch interessieren. :-) 

Finde es schwierig, etwas zu einer allgemeinen Vorgehensweise zu sagen, da es doch sehr abhängig vom konkreten Sachverhalt ist ...

Hm, kann man nicht einfach so vorgehen:

Wir wählen zunächst drei Bücher so, dass die drei Sprachen dabei sind, also aus jeder Sprache eins. Für das engl. Buch gibt es 9 Möglichkeiten, für das franz. 7, für das deutsche 10. Macht 9*7*10 Möglichkeiten. Für die restlichen 4 gibt es dann keine Vorgaben mehr, die können beliebig aus den 26-3 verbliebenen gewählt werden. Damit komme ich auf \(9\cdot 7\cdot 10\cdot \binom{23}4\) Möglichkeiten.

Oder übersehe ich was?

Allgemeine Regeln dafür kenne ich nicht. Wichtig ist eben, die paar Grundlagen der Kombinatorik verstanden zu haben. Der Mathematiker genießt es ja, nicht unzählige Formeln kennen zu müssen, sondern mit einem Grundverständnis von relativ wenigen Methoden eine Vielfalt von Aufgabenstellungen bearbeiten zu können.