Es ist wichtig, dass man solche Schreibweisen genau lesen kann. Und zwar von links nach rechts:

... = die Menge aller m mal stetig diffbaren Funktionen auf [a,b], die eingeschränkt auf jedes der Intervalle I_j ein Polynom vom Grad max. k sind

Die v's sind also stückweise Polynome, die aneinander gefügt v ergeben. Eben ein Spline ;-)

So wie Polynome einen Vektorraum bilden, tun das auch aneinander gefügte Polynome. Die Dim ist, wie in der Lin.Alg., die Anzahl der freien Parameter dieser Menge. Hier haben wir Polynome vom Grad max. k (das sind k+1 freie Parameter), und davon n Stück (für jedes Intervall), macht schonmal n(k+1).

Jetzt gelten aber zusätzlich die Übergangsbedingungen, die besagen, dass angrenzende Polynome gleiche Funktionswerte und gleiche Ableitungen bis zur Ordnung m haben (damit das Gesamtergebnis in C^m liegt, d.h. keine Knicke hat usw.). Das sind (n-1)(m+1) Bedingungen (Gleichungen). Wie von LGS bekannt, reduziert sich die Anzahl der freien Parameter pro Gleichung um 1. 

Damit: n(k+1)-(n-1)(m+1) freie Parameter (= Dim).

Soviel Wünsche hat man also noch frei um den Spline eindeutig festzulegen. Das macht man mit Randbedingungen.