Extrema unter Ungleichnebenbedingungen

Aufrufe: 522     Aktiv: 20.12.2020 um 20:42
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Hallo, 

erstmal nein, wir haben die KKT-Bedingung nicht gelernt, sollen aber diese Aufgabe trotzdem lösen. Welcher Ansatz bietet sich da an? 

Es macht bestimmt Sinn die Nebenbedingung in = und < aufzuteilen. Dann wüsste ich aber nicht wie ich im Fall < vorgehen sollte. 

Danke! 

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Du könntest erstmal nach lokalen Extremstellen schauen und gucken, ob sie die Nebenbedingung erfüllen. Falls ja, hast du mögliche Kandidaten gefunden. Anschließend musst du dann nur noch den Rand der Menge überprüfen, also wenn \(9x^2+y^2 = 36\) gilt. 

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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 
Also ich ermittle erstmal die lokalen Extremstellen von f. Dann schaue ich ob diese die Nebenbedingung erfüllen. Dann ermittle ich die lokalen Extremstellen von f unter der Nebenbedingung mit "=". Und dann vergleiche ich welche Stellen global sind.
Habe ich das richtig verstanden?   ─   helene20 20.12.2020 um 16:52
Okey danke. Aber ich erhalte zwei kritische Punkte, die in f eingesetzt den gleichen Funktionswert liefern. Da f stetig ist und die NB kompakt, muss f ja ein Maximum und Minimum annehmen. Dann müsste doch aber f ein konstante Funktion sein, wenn Maximum und Minimum an der selben Stelle vorliegt. Habe ich da einen Denkfehler?   ─   helene20 20.12.2020 um 19:32
Also ich habe die Rechnung mehrmals überprüft. Meine Punkte sind (-1, 3√3) und (-1,-3√3)   ─   helene20 20.12.2020 um 19:51
Jap mehr gibt es nicht. Die anderen Lösungen sind nicht reelle Lösungen.   ─   helene20 20.12.2020 um 19:53
Wieso muss y= 0 sein?   ─   helene20 20.12.2020 um 19:55
Aber das stimmt doch nicht. x muss entweder 10 oder -1 sein, und wenn y=0 wählen, dann ist die Nebenbedingung nicht erfüllt   ─   helene20 20.12.2020 um 20:00
Aber ich dachte so darf man es doch nicht betrachten. Also ich habe erstmal die Extrema von f untersucht und das liegt bei x= +- Wurzel(10.5) und y=0 und für diese Punkte ist die Nebenbedingung nicht erfüllt. Danach habe ich mit der L-Regel für f unter der NB 9x²+y²-36=0 die Extremstellen ausgerechnet und das waren eben die zwei.

  ─   helene20 20.12.2020 um 20:06
@cauchy Ich bin ehrlich gesagt verwirrt. Ich dachte dass dieses y ja dann das Gleichungssystem beim Lagrange Verfahren erfüllen muss. Wenn wir aber y=0 wählen geht das Gleichungssystem nicht auf.

@mikn können Sie mir erklären weshalb 4 Lösungen rauskommen?
| 2x² - 21 = Lambda* 18x
|| 2y = Lambda*2y
||| 9x² + y² - 36 = 0

Wenn Sie hier y=0 wählen, dann bleibt zwar bei der dritten Gleichung 9x²=36 übrig, aber wir das x muss auch die erste Gleichung erfüllen. Und für x=2 oder x=-2 ist dies nicht erfüllt   ─   helene20 20.12.2020 um 20:18
Lambda ergibt sich doch direkt aus Gleichung || mit Lambda=1   ─   helene20 20.12.2020 um 20:25
Ahh hahaha oh man... stimmt stimmt. Ich schau mal ob das dann aufgeht   ─   helene20 20.12.2020 um 20:27
Jap jap... Danke für euere Hilfe! Diese Plattform ist so unfassbar wertvoll. Man bekommt immer eine Antwort. Einfach wow...   ─   helene20 20.12.2020 um 20:32

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.