Extremwerte mit Nebenbedingungen

Erste Frage Aufrufe: 510     Aktiv: 09.07.2020 um 08:40
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Bestimmen Sie die Seitenlängen a und b und den Umfang U desjenigen Rechtecks, das bei gegebener Diagonalenlänge d=6*wurzel2 maximalen Umfang hat.

verstanden:

U=2a+2b HB

a^2+b^2=(6*wurzel2)^2=72 NB

0=a^2+b^2-72

 

nicht vedrstanden

0=2+x*2a

0=2+x*2b

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Du kannst die Nebenbedingung nutzen um b zu eliminieren.\( b^2 = 72 -  a^2\)
\(U = 2a +2b = 2a + 2 \sqrt{72-a^2} \).
Dann U´=0 für Extremwertbestimmung . Daraus erhältst du einen Wert für a. Daraus kannst du aus der Nebenbedingung b errechnen.

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aber wie komme ich auf die zwei formeln 0=2+x*2a
und 0=2+x*2b   ─   MichaelMayer 08.07.2020 um 10:08
wozu brauchst du die Formeln? Für diese Aufgabenstellung nicht.
Du musst U´bilden . Das ist vllt ein bisschen ungewohnt \({ dU \over da}\)   ─   scotchwhisky 08.07.2020 um 10:38
mein prof hat das so angegeben, dass ich das so rechnen muss mit dieser variante
   ─   MichaelMayer 08.07.2020 um 11:30

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Wenn Du die nicht-verstandenen Gleichungen verwenden sollst, sollst Du es mehrdimensional mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren rechnen. Das geht so:

HB: \(f(a,b)=2a+2b\)

NB: \(g(a,b)=a^2+b^2-72\)

Eine notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extremums unter der NB ist, dass es ein x (Lagrange-Multiplkator, nennt man meist lambda) gibt mit:

\( \nabla f (a,b) + x\,\nabla g(a,b)=\begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix}\)

gibt. Das sind zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, das sind genau Deine nicht-verstandenen. Als dritte Gleichung kommt noch die NB hinzu - drei Gleichungen, drei Unbekannte, klingt lösbar. Oder?

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ja das hört sich gut an nur die zwischenschritte wie man dazu kommt da fehlt mir der durchblick von der hb und nb zu
2+lambda*2a=0
2+lambda*2b=0   ─   MichaelMayer 08.07.2020 um 17:39
Mit Lagrange sieht das so aus:\( HB + \lambda *NB = L(a,b,\lambda) = 2a + 2b +\lambda* (a^2 +b^2 -72) \).Partielle Ableitungen =0 setzen.
\( {\partial L \over \partial a} = 2 + \lambda *2a =0 \)
\({ \partial L \over \partial b} = 2 +\lambda*2b =0 \)
\({\partial L \over \partial \lambda} = a^2 +b^2 -72 =0\)
   ─   scotchwhisky 09.07.2020 um 08:35

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.