Algebra, Untergruppen finden

Aufrufe: 827     Aktiv: 03.05.2020 um 16:38
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Hallo Liebe Mathefreunde,

Ich suche alle Untergruppen der S4, die Isomorph zu Z2xZ2 sind.

 

Meine bisherigen Überlegungen: In der Z2xZ2 sind die Elemente: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)

Isomorph heißt: es gibt einen bijektiven Homomorphismus zwischen den beiden Gruppen.

Wegen Bijektivität müssen also in den gesuchten Untergruppen auch wieder 4 Elemente sein.

 

Wie kann ich jetzt weiter vorgehen?

Bin für jede Hilfe dankbar!  

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Vielleicht so: `Z_2 times Z_2` wird von zwei Elementen erzeugt, die Ordnung 2 haben (genauer gesagt hat jedes Element außer dem neutralen Element die Ordnung 2). Deine Untergruppe wird also von zwei Elementen erzeugt, die Ordnung 2 haben.

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Das verstehe ich jetzt nicht. Warum 2 Elemente der Ordnung 2? Ich dachte, es seien 4 Elemente?
   ─   marie24 03.05.2020 um 16:10
Ich schreibe: "erzeugt". Die Gruppe besteht natürlich aus 4 Elementen. Die Gruppe `Z_2 times Z_2 ` wird von `(1,0)` und `(1,0)` erzeugt, enthält aber natürlich auch noch die Elemente `(0,0)` und `(1,1)`.   ─   digamma 03.05.2020 um 16:33

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Ergänzung: Permutationen, die zwei Elemente vertauschen, haben die Ordnung 2.

Ein Beispiel für eine solche Untergruppe (in Zykelschreibweise): {id, (12), (34), (12)(34)}.

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