Sei $g(x)=h(x)$ irgendeine Gleichung reeller Zahlen in der Variablen $x$.
Ich setze im Gegensatz zu anderen Antworten NICHT voraus, dass es sich um eine "polynomiale" Gleichung handelt.

Man kann zur Lösung von $g(x)=h(x)$ die Fälle $x=0$ und $x\neq 0$ separat betrachten.
Im Falle $x=0$ kann man direkt prüfen, ob $g(0)=h(0)$ gilt.
Im Falle $x\neq 0$ kann man unter dieser Annahme die Gleichung $\frac{g(x)}{x}=\frac{h(x)}{x}$ lösen.

Wenn $x_0\neq 0$ eine eine Lösung der ursprünglichen Gleichung $g(x)=h(x)$ ist, also $g(x_0)=h(x_0)$ gilt, folgt natürlich auch $\frac{g(x_0)}{x_0}=\frac{h(x_0)}{x_0}$, also ist $x_0$ auch eine Lösung von .$\frac{g(x)}{x}=\frac{h(x)}{x}$.

Es kann also unter der Annahme $x\neq 0$ bei der Division durch $x$ keine Lösung verloren gehen.
Und ohne die Annahme $x\neq 0$ darf man nicht durch $x$ teilen, weil Division durch $0$ nicht definiert ist.

Du verlierst nur die Lösung, die Null ergibt,
Bsp wenn du durch x teilst, ist es x=0,  wenn du durch (x-1) teilst, verlierst du x=1

Ist ja hier wie in der Schule :-)

Wie wäre es mit dieser Ergänzung zu den beiden bisherigen Antworten:

Letztlich fehlt in der gestellten Frage die Information, was eigentlich durch die Variable geteilt wird und wie.

Wenn ich die mit Null gleichgesetzte Funktionsgleichung dividiere, dann handelt es sich ja gar nicht um eine Äquivalenzumformung. Es ist beim Vorgang "Lösen einer Gleichung" ein ungültiger Lösungsschritt, wenn keine Fallunterscheidung erfolgt. Um was für eine Art der Division soll es sich denn dann also handeln, wenn sie mathematisch gar nicht sinnvoll ist?

monimust hat auf die mathematisch nicht ausgegorene Frage eine passende(!) Antwort gegeben.
cauchy hat versucht, die Frage zu mathematisieren. Das war aber eigentlich nicht gefragt.

Die eigentlich einzige sinnvolle Deutung der Frage nach einer Begründung WARUM (!) nur diese eine Lösung verloren geht, haben beide nicht geliefert.

Auf jeden Fall aber ein guter Vorwand, sich in die Wolle zu kriegen. ;-)

Also: Bei jeder Funktion mit Nullstellen kann der Funktionsterm so umgeschrieben werden, dass für jede Nullstelle ein Linearfaktor multipliziert wird, also z.B.
$$
f(x)=2\cdot (x-2)\cdot (x-5)\cdot x\cdot (x+3)\cdot x\cdot g(x).
$$
Jede Klammer ist ein Linearfaktor. Der Linearfaktor $(x-0)$ für eine Nullstelle bei $x=0$ wird dabei meist als $x$ aufgeschrieben, der Faktor $g(x)$ hat keine weiteren Nullstellen (z.B. $g(x)=(x^2+5)\cdot (x^2+1)$, alles natürlich nur für Funktionen mit Definitionsbereich in den reellen Zahlen).


Nun wird $f(x)=0$ gesetzt, also nach Nullstellen gesucht. Jeder Linearfaktor liefert eine Nullstelle (Satz vom Nullprodukt).

Möchte ich eine bestimmte Nullstelle aus der Funktion entfernen, dann muss der entsprechende Linearfaktor "weggelassen" werden.
Alle Nullstellen der Linearfaktoren, die noch da sind, gehen deshalb hierbei nicht verloren.
Wenn ich also bei dem gegebenen Beispiel nur einen der beiden Faktoren "$x$" weglasse ("dividiere"), dann ist die Nullstelle $x=0$ sogar noch da, weil auch das zweite $x$ weggelassen werden muss... deshalb wird auch zwischen einfacher, doppelter, dreifacher etc. Nullstelle unterschieden, d.h. die Vielfachheit der Nullstelle wird mitgezählt. So wird die zweifache Nullstelle bei x=0 zu einer einfachen Nullstelle (sie geht einmal verloren, war aber vorher zweimal vorhanden).

Deshalb kann nur die eine Nullstelle "verschwindet", deren Linearfaktor weggelassen ("dividiert") wird.

(Edit: und jetzt duck ich mich weg....)

Man teilt deswegen nicht durch die Variable, sondern klammert aus und benutzt den Satz vom Nullprodukt.