Limes Superior (Inferior)

Aufrufe: 825     Aktiv: 24.12.2020 um 22:33
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Hallo,

Die Definition des Limes Superior der Folge (aᵢ) ist angegeben als: lim sup aᵢ  (mit i gegen unendlich) =  lim (sup{aᵢ ∈ℝ | i ≥ k}) mit k gegen unendlich.

Mir ist klar, dass der Limes Superior der größte Häufungspunkt ist. Wenn ich jetzt z.B die Folge 1, 2, 3, 1, 2, 3, ....habe, ist 3 der Lim sup. 

Mir ist aber die Notation der Definition nicht ganz klar. Angenommen, ich wüsste jetzt nicht, dass der Lim sup der größte Häufungspunkt ist, wie käme ich auf 3 nur mit der Definition? 

Also wie komme ich von Lim (sup{aᵢ ∈ ℝ | i ≥ k}) in diesem Beispiel auf die 3? Dass das k gegen unendlich geht verwirrt mich. Für mich liest sich das so, dass ich quasi das Folgenglied "ganz am Ende" nehme, weil das i ja immer größer oder gleich ist. Aber das ist ja Quatsch. 

Danke und frohe Weihnachten. 

Edit: (Die Bilder sind denke ich nicht soo wichtig, aber deswegen frag ich halt die Frage, vielleicht hilfts ja jemand. Im ersten Bild ist die Definition)

Und noch den Beweis vom Satz von Bolzano Weierstraß, weil darauf verwiesen wird im Text: 

Und weil im Beweis wiederum auf Seite 114 verwiesen wird: 

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Bilde dir drei Teilfolgen \(a_{n_k}=3k\), \(a_{n_k}=3k-1\) und \(a_{n_k}=3k-2\). Dann berechne von diesen Teilfolgen deinen Limes. Alle Grenzwerte gehören der Limesmenge an mit \(\mathcal{L} (a_n)=\{1,2,3\}\). Das Supremum der Limesmenge ist dein Limes superior, also 3.

 

Hoffe das hilft weiter.

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Danke für die Antwort. Leider bin ich jetzt mehr verwirrt als davor. Wieso bildest du dir die Teilfolgen? Und dann müsste ja die Menge {aᵢ ∈ ℝ | i ≥ k } die Limesmenge {1,2,3} sein? (Ich weiß aber immernoch nicht wie man darauf kommt). Davon das Supremum ist 3. Aber vor der Menge steht ja nochmal ein Limes?!   ─   sorcing 24.12.2020 um 16:25
Ich kenne die Definition des Limes Superior als \(\sup \left\{g\in \mathbb{R} \mid \underset{k\longrightarrow \infty}{\lim} a_{n_k} =g\right\}\) also das Supremum der Menge von allen möglichen Grenzwerten von Teilfolgen \(a_{n_k}\) von \(a_n\). Bei deiner Folge z.B. gibt es drei konstante Teilfolgen \(a_{n_1} =1,1,....\), \(a_{n_2} =2,2,....\) und \(a_{n_3} =3,3,....\). Schau nochmal genau in deine Definition, aber die Idee ist immer sich die Grenzwerte der Teilfolgen anzuschauen. Der Limes Inferior wäre damit 1.   ─   maqu 24.12.2020 um 16:53
Danke, deine Definition verstehe ich. Ich Frage mich natürlich trotzdem inwiefern meine Definition dazu äquivalent ist. Ich hab oben Bilder hinzugefügt, vielleicht helfen sie. Da steht dann auch die Definition im Zusammenhang.
Also im Beweis wird ja irgendwie mit (b_k) eine Folge definiert, deren Folgenglieder Supremen sind. Davon das Supremum. So muss es irgendwie sein, aber so ganz komm ich nicht dahinter. Vorallem der Limes dann der davor steht.   ─   sorcing 24.12.2020 um 19:23
Es ist nur eine Frage der Notation. \(M_k\) ist das, was ich unter der Limesmenge \(\mathcal{L} (a_n)\) verstehe. Sozusagen andere Notation gewählt, bzw. separat definiert worden. Den Sinn des Ausdrucks \(\underset{k\longrightarrow \infty}{\lim} (\sup \(a_n\in \mathbb{R} \mid n\geq k\))\) erschließt sich mir tatsächlich auch nicht. Man sagt zwar Limes Superior und schreibt auch als Abkürzung \(\lim \sup\), aber es bedeutet eigentlich, dass man das Supremum von Grenzwerten und nicht den Grenzwert von Suprema betrachtet.   ─   maqu 24.12.2020 um 21:57

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M_k ist sowas wie der Rest der Folge a_n ab n=k, aber als Menge dieser Folgenelemente geschrieben. In diesem Beispiel ist für alle k \(M_k=\{1,2,3\}\). Damit ist \(b_k:=\sup M_k = 3\), das ist die monoton fallende Folge aus dem Beweis. Natürlich ist \(\lim\limits_{k\to\infty} b_k=3\), konstante Folge, also \(\limsup a_n = b = 3\).

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