Hallo,

ich bin mir nicht sicher ob das der einfachste Weg ist, aber du kannst folgendermaßen vorgehen.

Für die Verteilungsfunktion von $X$ gilt

$$ F_X(x) = P(X \leq x) $$

Außerdem gilt für die Verteilunsfunktion von $Y$ 

$$ F_Y(x) = P(Y\leq x) = P(\log(X) \leq x) $$

die Ungleichung können wir umformen zu

$$ P(\log(X) \leq x) = P(X \leq e^x) $$

(falls bei euch $\log$ der natürliche Logarithmus ist)

Also ist

$$ F_Y(x) = F_X(e^x) $$

Das kannst du nun aus der Verteilungsfunktion von $X \sim \exp(1)$ bestimmen. Die Dichtefunktion ergibt sich dann als Ableitung der Verteilungsfunktion.

Grüße Christian