Ja, genau so geht das. Das Gram-Schmidt-Verfahren transformiert $A$ in eine orthogonale Matrix $Q$, das geht über Spaltenumformungen. Wir haben damit $Q=A\cdot M$. Nun macht man sich klar, $M$ eine rechts-obere Dreiecksmatrix ist. Das sieht man am GSV, z.B. ist die 1. Spalte von $Q$ nur aus der 1. Spalte von $A$ berechnet, die 2. nur aus der 1.  Sp von $Q$ und der 2. Spalte von $A$, also aus den ersten beiden Spalten von $A$ berechnet. Die 3. Spalte von $A$ ist auch nur durch die ersten drei Spalten von $A$ berechnet (der Spaltenraum von $Q$ wird ja schrittweise aus dem von $A$ berechnet). Das heißt, $M$ (da stehen die Koeffizienten des GSV drin) ist eine rechts-obere DM. Damit hat man $Q\cdot M^{-1} =A$, woraus mit $C:=M^{-1}$ die Beh. folgt. Beachte: die Diagonalelemente von $M$ sind $>0$ (siehe GSV), daher ist $M$ invertierbar. Und die Inverse eine roDM ist wieder eine roDM.
Merke: Das GSV transformiert $A$ auf eine orthogonale Matrix und die Umformungskoeffizienten stehen in einer roDM.
Numerisch ist das aber nicht so günstig, da rechnet man anders: Da transformiert man $A$ auf eine roDM, wie beim Gauß-Alg, aber diesmal mit orthogonalen Transformationsmatrizen (die von links dranmultipliziert werden), sog. Givens-Rotationen.
Diese Dinge sind genial (finde ich) in den Bücher von G. Strang erklärt.