Rationale Zahlen Definition

Aufrufe: 619     Aktiv: 11.03.2021 um 12:30
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Als Definition der rationalen Zahlen gilt ja (meines Wissens) : r = {p / q | p aus Ganzen Zahlen und q und aus Natürlichen, sodass man auch die negativen erreicht)
Jetzt habe ich gelesen, dass eine rationale Zahl allgemein zwar so dargestellt wird, das aber derart einschränkend definiert ist, das praktisch ausgeschlossen wird, dass durch (p/q) eine nicht-rationale Zahl darzustellen. (d.h. es können nur rationale Zahlen durch (p/q) dargestelt werden, wobei eine rationale Zahl, ja eine Zahl ist, die entweder endlich oder schließlich periodische Nachkommaabschnitte hat)
Ich habe mir jetzt folgende Zahlen ausgedacht: (78 / 473) auf 15 Nachkommastellen ergibt dies: 0,164904862579281 (d.h. zumindest auf diesen 15 Nachkommastellen wiederholt sich nichts, und die Zahl scheint nicht-rational zu sein. Oder garantiert die Voraussetzung rationaler Zahlen, dass egal, welche Werte aus p und q gewählt werden, immer eine rationale Zahl herauskommt?
Vielen Dank :)
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Der Schein trügt . Es ist
\[\frac {78}{473}=0,1649048625792811839323467230443974630021141649048625792811839323 \dots = 0,\overline{164904862579281183932346723044397463002114} . \]   ─   anonym42 10.03.2021 um 19:32
Ich glaube er meint, dass die gerundete Zahl nicht rational ist   ─   mathejean 10.03.2021 um 19:33
Ich dachte die Frage war, warum \( \frac{78}{473}\) keine endliche oder periodische Dezimalzahl ist.   ─   anonym42 10.03.2021 um 19:37
Ja, das ergibt mehr Sinn :D   ─   mathejean 10.03.2021 um 19:39
Nein ich habe gemeint die Definition einer rationalen Zahl ist ja eben (p/q) salopp, d.h. alle Zahlen, die man so darstellen kann müssten rational sein, also müsste auch (78/473) rational sein, so wirkt es jedoch nicht - und ob (p/q) damit für alle Zahlen, die man einsetzen kann allgemeingültig rational ist, Danke auf jeden Fall :)   ─   sven03 10.03.2021 um 19:43
Ja, genau das ist die Definition von rationalen Zahlen. Umgangssprachlich könnte man sagen: Jede Zahl, die sich als Bruch darstellen lässt.   ─   mathejean 10.03.2021 um 19:44
Der Vollständigkeit halber möchte ich hier noch anmerken, dass für eine rationale Zahl \( \frac{p}{q} \) mit den ganzen Zahlen \( p \) und \( q \) gelten muss, dass \( q \neq 0 \) ist.   ─   tim6502 10.03.2021 um 20:44
Ok super danke :)   ─   sven03 11.03.2021 um 12:30
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Rationale Zahlen sind per Definition die reellen Zahlen die sich als Bruch ganzer Zahlen schreiben lassen, wie du geschrieben hast. Jeden solchen Bruch \( \frac pq\) kann man darstellen als eine endliche oder periodische Dezimalzahl.

Umgekehrt lässt sich auch jede periodische Dezimalzahl als Bruch ganzer Zahlen schreiben.

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