Das Tupel \((x,y,z)\) ist linear abhängig, wenn gilt \(w^2-5w+4=0 \Longrightarrow w=1 \vee w=4\).
Nun musst du das LGS \(\lambda_1 \cdot x + \lambda_2 \cdot y + \lambda_3 \cdot z=0\) lösen (z.B. mit dem Gauß-Verfahren). Einmal mit \(w=1\) und einmal mit \(w=4\).
\(w=1\):
\(\lambda_1 \cdot \begin{pmatrix}-1\\ -2\\ -1\end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 2\end{pmatrix} + \lambda_3 \cdot \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} = 0\)
\(\Longrightarrow \begin{cases}-\lambda_1 + 2\lambda_2 + \lambda_3 = 0 \\-2\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0 \\-\lambda_1 + 2\lambda_2 + \lambda_3 = 0\end{cases}\)
Wie du siehst, sind sogar direkt 1. und 3. Zeile identisch.
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Ich hätte jetzt aber noch 2 Fragen:
1. Wie kommt man auf die quadratische Gleichung (also wie setzen sich die Werte (1), -5 und 4 zusammen)?
2. Wie genau komme ich nun durch Berechnungen an bestimmte Werte für \(\lambda\)? ─ manuelluca.waibel 27.02.2020 um 21:16
2) Die 3. Zeile kannst du streichen. Formst du die 2. Gleichung z.B. nach \(\lambda_1\) um, so erhältst du \(\lambda_1 = 0.5(\lambda_2+\lambda_3)\). Eingesetzt in die erste Zeile ergibt das \(-0.5(\lambda_2 + \lambda_3) +2 \lambda_2 + \lambda_3 = 0 \Rightarrow \lambda_2 = -\dfrac{\lambda_3}{3} \Rightarrow \lambda_1 = \dfrac{\lambda_3}{3}\). So kannst du \(\lambda_1,\lambda_2\) mittels \(\lambda_3\) ausdrücken. ─ maccheroni_konstante 27.02.2020 um 23:42
Ich habe das ganze jetzt mit \(w = 4\) auch noch gemacht und erhalte dann \(\lambda_{1} = 2 \cdot \lambda_{2}\) und aber für \(\lambda_{3}\) beim Rückeinsetzen \(\lambda_{3} = 0\).
Bei der Probe erhalte ich dann den Nullvektor, also müsste die Lösung so stimmen \(\lambda_{1} = 2 \cdot \lambda_{2}\), \(\lambda_{2}\), \(\lambda_{3} = 0\) - ist diese Lösung für \(\lambda_{3}\) jedoch zulässig? Laut Angabe müssen doch alle \(\lambda \ne 0\) sein? Oder bezieht sich das auf die Gesamtheit aller \(\lambda\)? Also sprich, dass Einzelne diesen Wert annehmen dürfen, jedoch nicht alle? ─ manuelluca.waibel 28.02.2020 um 10:42
Die triviale Lösung bezieht sich darauf, dass alle! Skalare den Wert null haben. ─ maccheroni_konstante 28.02.2020 um 12:54