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Die erste Antwort ist natürlich eine richtige Herangehensweise, ich habe nur einen alternativen Vorschlag:
Du könntest auch zeigen, dass jeder der drei Vektoren des bekannte Erzeugendensystems (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) als Linearkombination aus den 5 Vektoren gebildet werden kann.
Was dir leichter fällt entscheidest natürlich du ;)
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jojoliese
Student, Punkte: 2.18K
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Das ist tatsächlich falsch, da dies nur notwendig für die Aufgabenstellung ist und nicht hinreichend. Diese Herangehensweise zeigt nämlich nur, dass Sie Elemente des Vektorraums sind, sie müssen aber ein Erzeugendensystem sein, also auch eine Basis. Wenn sich Vektoren mit Hilfe einer Basis eines Vektorraums darstellen lassen, ist dies nicht hinreichend dafür diese auch eine Basis des selbigen Raums sind, sie könnten auch nur die Basis eines Unterraums sein
─
anonym0165f
08.12.2020 um 19:44
Danke sehr
─ meinux 08.12.2020 um 19:59
─ meinux 08.12.2020 um 19:59
Die Antwort von jojoliese ist völlig korrekt.
─
slanack
08.12.2020 um 21:08
Danke @slanack
Zur Erklärung meiner Antwort, wenn sie zu Unsicherheiten führt;
Du möchtest schauen, ob deine Vektoren den ganzen Vektorraum aufspannen, mit anderen Worten: ein Erzeugendensystem sind/ ihre lineare Hülle gleich dem Vektorraum ist.
Du weißt von der Kanonischen Basis, dass diese eine Basis ist und eben die gleichwertigen Aussagen erfüllt.
Wenn du zeigen kannst, dass alle Vektoren der Kanonischen Basis deiner Dimension in der linearen Hülle deiner Vektoren liegen hast du es geschafft! Denn man kann sich leicht überlegen, dass für alle Elemente aus der linearen Hülle gelten muss, dass deren Linearkombination auch in der linearen Hülle liegen. Oder mit anderen Worten: wenn du die Kanonischen Basisvektoren als Linearkombination deiner Vektoren darstellen kannst, dann auch alle Vektoren, die du als deren Linearkombination darstellen kannst.
Es gilt: \( A \subseteq \mathcal{L}(X) \rightarrow \mathcal{L}(A) \subseteq \mathcal{L}(X) \)
X - Menge deiner Vektoren
A - Menge der Kanonischen Basisvektoren
\( \mathcal{L}() \) - Diese Symbolik kenne ich für die lineare Hülle, andere schreiben auch span()
Weil die Lineare Hülle der Kanonischen Basis aber (in deinem betrachten Vektorraum der Dimension 3) schon den ganzen Raum aufspannt gilt Gleichheit.
Ich glaube @anonym hat sich in meiner Antwort verlesen und gedacht ich habe geschrieben, dass es zu überprüfen gilt, dass die 5 Vektoren durch die Kanonischen Basisvektoren dargestellt werden können, aber ich habe eben genau das umgedrehte gesagt: die kanonische Basis muss durch deine Vektoren dargestellt werden können. ─ jojoliese 09.12.2020 um 00:39
Zur Erklärung meiner Antwort, wenn sie zu Unsicherheiten führt;
Du möchtest schauen, ob deine Vektoren den ganzen Vektorraum aufspannen, mit anderen Worten: ein Erzeugendensystem sind/ ihre lineare Hülle gleich dem Vektorraum ist.
Du weißt von der Kanonischen Basis, dass diese eine Basis ist und eben die gleichwertigen Aussagen erfüllt.
Wenn du zeigen kannst, dass alle Vektoren der Kanonischen Basis deiner Dimension in der linearen Hülle deiner Vektoren liegen hast du es geschafft! Denn man kann sich leicht überlegen, dass für alle Elemente aus der linearen Hülle gelten muss, dass deren Linearkombination auch in der linearen Hülle liegen. Oder mit anderen Worten: wenn du die Kanonischen Basisvektoren als Linearkombination deiner Vektoren darstellen kannst, dann auch alle Vektoren, die du als deren Linearkombination darstellen kannst.
Es gilt: \( A \subseteq \mathcal{L}(X) \rightarrow \mathcal{L}(A) \subseteq \mathcal{L}(X) \)
X - Menge deiner Vektoren
A - Menge der Kanonischen Basisvektoren
\( \mathcal{L}() \) - Diese Symbolik kenne ich für die lineare Hülle, andere schreiben auch span()
Weil die Lineare Hülle der Kanonischen Basis aber (in deinem betrachten Vektorraum der Dimension 3) schon den ganzen Raum aufspannt gilt Gleichheit.
Ich glaube @anonym hat sich in meiner Antwort verlesen und gedacht ich habe geschrieben, dass es zu überprüfen gilt, dass die 5 Vektoren durch die Kanonischen Basisvektoren dargestellt werden können, aber ich habe eben genau das umgedrehte gesagt: die kanonische Basis muss durch deine Vektoren dargestellt werden können. ─ jojoliese 09.12.2020 um 00:39