Hallo meisterb,

(1) Von der ersten zur zweiten Zeile auf deiner Fotografie rechnest du links die binomische Formel aus.

(2) Von der zweiten zur dritten Zeile deiner Fotografie hebt sich das \(x_0^2\) weg und du multiplizierst den Term \(\left(x_+\dfrac{h}{\sqrt{2}}\right)\cdot \cos\left(y_0 +\dfrac{h}{\sqrt{2}}\right)\) aus.

(3) Von der letzten Zeile deiner Fotografie zu deiner gepostetet Gleichung multiplizierst du mit \(\dfrac{1}{h}\), fasst die Terme mit \(x_0\cos\) zusammen, klammerst dort das \(x_0\) aus und erweiterst im Nenner dieses Bruchs mit \(\sqrt{2}\). Zum Schluss zerlegst du noch den Limes und berechnest die Grenzwerte einzeln. Man macht also die Schritte einzeln wie folgt:

\(\underset{h\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{1}{h} \cdot \left[\sqrt{2}hx_0 +\dfrac{h^2}{2} +x_0\cos\left(y_0+\dfrac{h}{\sqrt{2}}\right) +\dfrac{h}{\sqrt{2}} \cos\left(y_0+\dfrac{h}{\sqrt{2}}\right) -x_0\cos(y_0)\right] =\underset{h\longrightarrow 0}{\lim} \left[\sqrt{2}x_0 +\dfrac{h}{2} +\dfrac{x_0\cos\left(y_0+\frac{h}{\sqrt{2}}\right)}{h} +\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos\left(y_0+\dfrac{h}{\sqrt{2}}\right) -\dfrac{x_0\cos(y_0)}{h}\right] =\underset{h\longrightarrow 0}{\lim} \left[\sqrt{2}x_0 +\dfrac{h}{2} +\dfrac{x_0\cos\left(y_0+\frac{h}{\sqrt{2}}\right)-x_0\cos(y_0)}{h} +\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos\left(y_0+\dfrac{h}{\sqrt{2}}\right)\right]=\underset{h\longrightarrow 0}{\lim} \left[\sqrt{2}x_0 +\dfrac{h}{2} +\dfrac{x_0\left[\cos\left(y_0+\frac{h}{\sqrt{2}}\right)-\cos(y_0)\right]}{h} +\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos\left(y_0+\dfrac{h}{\sqrt{2}}\right)\right]=\underset{h\longrightarrow 0}{\lim} \left[\sqrt{2}x_0 +\dfrac{h}{2} +\dfrac{x_0\left[\cos\left(y_0+\frac{h}{\sqrt{2}}\right)-\cos(y_0)\right]}{\sqrt{2} \cdot \frac{h}{\sqrt{2}}} +\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos\left(y_0+\dfrac{h}{\sqrt{2}}\right)\right]=\underset{h\longrightarrow 0}{\lim} \left(\sqrt{2}x_0 +\dfrac{h}{2}\right) +\underset{h\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{x_0\left[\cos\left(y_0+\frac{h}{\sqrt{2}}\right)-\cos(y_0)\right]}{\sqrt{2} \cdot \frac{h}{\sqrt{2}}} +\underset{h\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos\left(y_0+\dfrac{h}{\sqrt{2}}\right)\)

Man betrachte nun die Grenzwert einzeln:

(i) Klar ist, dass \(\underset{h\longrightarrow 0}{\lim} \left(\sqrt{2}x_0 +\dfrac{h}{2}\right)=\sqrt{2} x_0\), da du für \(h\) einfach Null einsetzen kannst.

(ii) Hier muss man etwas tricksen. Man setzt \(h'=\dfrac{h}{\sqrt{2}}\). Wenn \(h\longrightarrow 0\), dann gilt auch \(h'\longrightarrow 0\). Damit ergibt sich:

\(\underset{h\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{x_0\left[\cos\left(y_0+\frac{h}{\sqrt{2}}\right)-\cos(y_0)\right]}{\sqrt{2} \cdot \frac{h}{\sqrt{2}}} =\dfrac{x_0}{\sqrt{2}} \underset{h'\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{\cos(y_0+h')-\cos(y_0)}{h}=-\dfrac{x_0}{\sqrt{2}} \sin(y_0)\)

Der Grenzwert entspricht dem Differentialquotienten der Kosinusfunktion im Punkt \(y_0\), welcher gleich der Ableitung von \(cos(y_0)\) ist, also \(-\sin(y_0)\).

(iii) Du kannst \(h\) innerhalb der Kosinusfunktion gegen Null laufen lassen uns erhälst:

\(\underset{h\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos\left(y_0+\dfrac{h}{\sqrt{2}}\right) =\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos(y_0)\)

Mit (i)-(iii) folgt also dein letzter Schritt:

\(\underset{h\longrightarrow 0}{\lim} \left(\sqrt{2}x_0 +\dfrac{h}{2}\right) +\underset{h\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{x_0\left[\cos\left(y_0+\frac{h}{\sqrt{2}}\right)-\cos(y_0)\right]}{\sqrt{2} \cdot \frac{h}{\sqrt{2}}} +\underset{h\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos\left(y_0+\dfrac{h}{\sqrt{2}}\right) =\sqrt{2} x_0-\dfrac{x_0}{\sqrt{2}} \sin(y_0) +\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos(y_0)\)

Hoffe ich konnte dir die fehlenden Schritte aufklären.