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Hallo jkub,
natürlich muss man die mathematischen Definitionen der großen Vereinigung / des großen Schnitts kennen, um diese Aufgaben zu lösen. Hier sind sie:
Seien $I$ eine Menge und für jedes $i\in I$ eine Menge $M_i$ gegeben.
Dann definieren wir
$\bigcup_{i\in I}M_i:=\{x\;|\;\exists i\in I\colon x\in M_i\}$
(in Worten: Die Menge $\bigcup_{i\in I}M_i$ enthält genau die Elemente $x$, die in mindestens einer der Mengen $M_i$ liegen)
und im Falle $I\neq \emptyset$ auch
$\bigcap_{i\in I}M_i:=\{x\;|\;\forall i\in I\colon x\in M_i\}$
(in Worten: Die Menge $\bigcap_{i\in I}M_i$ enthält genau die Elemente $x$, die in allen Mengen $M_i$ liegen).
Kannst du diese Definitionen auf die gegebene Situation anwenden?
Melde dich gerne, wenn du weitere Hilfe benötigst.
Viele Grüße
Tobias
natürlich muss man die mathematischen Definitionen der großen Vereinigung / des großen Schnitts kennen, um diese Aufgaben zu lösen. Hier sind sie:
Seien $I$ eine Menge und für jedes $i\in I$ eine Menge $M_i$ gegeben.
Dann definieren wir
$\bigcup_{i\in I}M_i:=\{x\;|\;\exists i\in I\colon x\in M_i\}$
(in Worten: Die Menge $\bigcup_{i\in I}M_i$ enthält genau die Elemente $x$, die in mindestens einer der Mengen $M_i$ liegen)
und im Falle $I\neq \emptyset$ auch
$\bigcap_{i\in I}M_i:=\{x\;|\;\forall i\in I\colon x\in M_i\}$
(in Worten: Die Menge $\bigcap_{i\in I}M_i$ enthält genau die Elemente $x$, die in allen Mengen $M_i$ liegen).
Kannst du diese Definitionen auf die gegebene Situation anwenden?
Melde dich gerne, wenn du weitere Hilfe benötigst.
Viele Grüße
Tobias
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tobit
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 275
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Also die Definition von dem ganzen ist schonmal hilfreich, um das allgemein nachzuvollziehen. Jetzt haben sich mir dennoch ein paar Fragen ergeben, wenn ich meine Aufgabe mal "in die Form der Definition" bringen möchte, sähe das dann so aus: $M_n:= \{m | \exists n \in {N}: m \in M_n\}$? Desweiteren ist ja $M_n$ eine Indexmenge, in Abhängigkeit von $n \in {N}$, angenommen ich habe eine habe ein festes n, also auch eine endlich Menge, ist dann der Ansatz wie ich ihn oben, im Kommentar auf mikn gewählt habe, richtig?
─
jkub
13.11.2021 um 11:28
Da ist ja genau das Problem, ich weiß ja nicht, wie man diese Zeichen "auflöst", um die einzelnen Mengen zu notieren, bzw. was genau mit den Zeichen überhaupt gemeint ist. Tobias hat netter Weise die Def. der Zeichen hier reingeschickt und das klärt zwar, was das ganze darstellen soll, aber mathematisch kann ich mir da einfach nicht viel darunter vorstellen. Da wäre irgendwie eine Veranschaulichung nützlich, aber in meiner gesamten Literatur und im Netz finde ich bis jetzt auch nur die Definition von diesem Zeichen, aber keine wirklich praktischen Beispiele (abgesehen von Vereinigungen die ${Q}$ oder ${R}$ ergeben) .
─
jkub
13.11.2021 um 15:22
Hallo jkub, erst einmal sorry für meine späte Reaktion, ich war heute unterwegs.
Wenn wir für jede natürliche Zahl $n$ eine Menge $M_n$ gegeben haben, ist per Definition der großen Vereinigung $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}M_n=\{x\;|\;\exists n\in\mathbb{N}\colon x\in M_n\}$ (in deinem ersten Kommentar zu meiner Antwort hattest du das $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}$ vergessen). Das ist nichts anderes als die von mir angegebene Definition der großen Vereinigung angewendet auf den Spezialfall $I=\mathbb{N}$. (Die Menge $I$ nennt man in diesem Zusammenhang auch Indexmenge, ihre Elemente Indizes.)
Im Beispiel der Aufgabe suchen wir $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}$, also $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}M_n$ für den Spezialfall der Mengen $M_n:=\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}$. Also gilt per Definition $M_0=\{m\in\mathbb{N}\;|\;m<0\}=\ldots$ (für welche natürlichen Zahlen $m$ gilt $m<0$?), $M_1=\{m\in\mathbb{N}\;|\;m<1\}=...$ (für welche natürlichen Zahlen $m$ gilt $m<1$?), $M_2=\{m\in\mathbb{N}\;|\; m<2\}=...$ (für welche natürlichen Zahlen $m$ gilt $m<2$?), $M_3=\{m\in\mathbb{N}\;|\;m<3\}$ (für welche natürlichen Zahlen $m$ gilt $m<3$?), usw. (gerne noch z.B. bis $n=5$ fortführen).
In Worten ist die große Vereinigung $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}M_n$ die Menge aller Objekte, die in mindestens einer der Mengen $M_n$ enthalten sind.
Wenn du korrekt verstanden hast, wie die Mengen $M_n:=\{m\in\mathbb{N}\;|\; m < n\}$ jeweils aussehen (1. Schritt), hast du vielleicht eine Vermutung, welche Objekte in mindestens einer der Mengen $M_0,M_1,M_2,M_3,...$ liegen (2. Schritt). Diese Vermutung gilt es dann zu beweisen (3. Schritt).
Alternativ kommt man hier auch mit sturem Einsetzen relativ weit:
Es gilt $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}M_n=\{x\;|\;\exists n\in\mathbb{N}\colon x\in M_n\}=\{x\;|\;\exists n\in\mathbb{N}\colon x\in \{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}\}=\{x\;|\;\exists n\in\mathbb{N}\colon(x\in\mathbb{N}\wedge x< n)\}$.
Also ist $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}$ die Menge aller Objekte $x$, für die es eine natürliche Zahl $n$ gibt mit $x\in\mathbb{N}$ und $x< n$.
Welche Objekte $x$ haben diese Eigenschaft? Haben Objekte $x$, die gar keine natürlichen Zahlen sind, diese Eigenschaft? Hat die natürliche Zahl $x:=0$ diese Eigenschaft? Hat die natürliche Zahl $x:=1$ diese Eigenschaft? Hat die natürliche Zahl $x:=2$ diese Eigenschaft? ...
Schreibe dir zur Beantwortung dieser Fragen am besten die Eigenschaft "es existiert eine natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft $x\in\mathbb{N}$ und $x< n$" konkret für das jeweilige $x$ hin.
Kommst du mit einem der beiden von mir vorgeschlagenen Ansätze weiter? ─ tobit 13.11.2021 um 22:18
Wenn wir für jede natürliche Zahl $n$ eine Menge $M_n$ gegeben haben, ist per Definition der großen Vereinigung $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}M_n=\{x\;|\;\exists n\in\mathbb{N}\colon x\in M_n\}$ (in deinem ersten Kommentar zu meiner Antwort hattest du das $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}$ vergessen). Das ist nichts anderes als die von mir angegebene Definition der großen Vereinigung angewendet auf den Spezialfall $I=\mathbb{N}$. (Die Menge $I$ nennt man in diesem Zusammenhang auch Indexmenge, ihre Elemente Indizes.)
Im Beispiel der Aufgabe suchen wir $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}$, also $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}M_n$ für den Spezialfall der Mengen $M_n:=\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}$. Also gilt per Definition $M_0=\{m\in\mathbb{N}\;|\;m<0\}=\ldots$ (für welche natürlichen Zahlen $m$ gilt $m<0$?), $M_1=\{m\in\mathbb{N}\;|\;m<1\}=...$ (für welche natürlichen Zahlen $m$ gilt $m<1$?), $M_2=\{m\in\mathbb{N}\;|\; m<2\}=...$ (für welche natürlichen Zahlen $m$ gilt $m<2$?), $M_3=\{m\in\mathbb{N}\;|\;m<3\}$ (für welche natürlichen Zahlen $m$ gilt $m<3$?), usw. (gerne noch z.B. bis $n=5$ fortführen).
In Worten ist die große Vereinigung $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}M_n$ die Menge aller Objekte, die in mindestens einer der Mengen $M_n$ enthalten sind.
Wenn du korrekt verstanden hast, wie die Mengen $M_n:=\{m\in\mathbb{N}\;|\; m < n\}$ jeweils aussehen (1. Schritt), hast du vielleicht eine Vermutung, welche Objekte in mindestens einer der Mengen $M_0,M_1,M_2,M_3,...$ liegen (2. Schritt). Diese Vermutung gilt es dann zu beweisen (3. Schritt).
Alternativ kommt man hier auch mit sturem Einsetzen relativ weit:
Es gilt $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}M_n=\{x\;|\;\exists n\in\mathbb{N}\colon x\in M_n\}=\{x\;|\;\exists n\in\mathbb{N}\colon x\in \{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}\}=\{x\;|\;\exists n\in\mathbb{N}\colon(x\in\mathbb{N}\wedge x< n)\}$.
Also ist $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}$ die Menge aller Objekte $x$, für die es eine natürliche Zahl $n$ gibt mit $x\in\mathbb{N}$ und $x< n$.
Welche Objekte $x$ haben diese Eigenschaft? Haben Objekte $x$, die gar keine natürlichen Zahlen sind, diese Eigenschaft? Hat die natürliche Zahl $x:=0$ diese Eigenschaft? Hat die natürliche Zahl $x:=1$ diese Eigenschaft? Hat die natürliche Zahl $x:=2$ diese Eigenschaft? ...
Schreibe dir zur Beantwortung dieser Fragen am besten die Eigenschaft "es existiert eine natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft $x\in\mathbb{N}$ und $x< n$" konkret für das jeweilige $x$ hin.
Kommst du mit einem der beiden von mir vorgeschlagenen Ansätze weiter? ─ tobit 13.11.2021 um 22:18
Zur Veranschaulichung von der großen Vereinigung möchte ich ein Beispiel bringen, dass unabhängig von der Aufgabenstellung ist: Nehmen wir mal eine endliche Indexmenge $I=\{1,2,3\}$ und folgende Mengen von mathefragen.de-Usern: $A_1:=\{\text{jkub}, \text{tobit}\}$, $A_2:=\{\text{jkub},\text{mikn}\}$, $A_3:=\{\text{jkub},\text{cauchy}\}$. Dann ist $\bigcup_{i\in\{1,2,3\}} A_i$ die Menge aller Objekte, die in mindestens einer der Mengen $A_1,A_2,A_3$ liegen und somit $\bigcup_{i\in\{1,2,3\}} A_i=\{\text{jkub},\text{tobit},\text{mikn},\text{cauchy}\}$,
Was hat $\bigcup_{i\in I}B_i$ für Mengen $B_i$ nun mit der "gewöhnlichen" Vereinigung $\cup$ zweier Mengen zu tun?
Im Spezialfall $I=\{1,2\}$ gilt für alle Mengen $B_1$ und $B_2$ die Beziehung $\bigcup_{i\in\{1,2\}}B_i=B_1\cup B_2$.
In diesem Sinne kann man die gewöhnliche Vereinigung zweier Mengen als Spezialfall der großen Vereinigung ansehen bzw. umgekehrt die große Vereinigung als Verallgemeinerung der gewöhnlichen Vereinigung zweier Mengen ansehen.
Allgemeiner gilt für alle natürlichen Zahlen $k$ und Mengen $B_1,B_2,B_3,..., B_k$:
$\bigcup_{i\in\{1,2,3,\ldots,k\}}B_i=(...((B_1\cup B_2)\cup B_3)...)\cup B_k$.
In diesem Sinne entspricht für endliche Indexmengen $I$ die große Vereinigung einer wiederholten gewöhnlichen Vereinigung.
Ist die Indexmenge $I$ jedoch unendlich (wie in den Beispielen der Aufgabenstellungen, wo $I=\mathbb{N}$ gilt), lässt sich die große Vereinigung $\bigcup$ i.A. wohl kaum mithilfe der gewöhnlichen Vereinigung zweier Mengen umschreiben.
In diesem Sinne ermöglicht die große Vereinigung nicht nur eine kompaktere Schreibweise von endlichen Vereinigungen (d.h. endlich-malige Vereinigung zweier Mengen), sondern erlaubt auch Vereinigungen unendlich vieler Mengen, die sich gar nicht mit der gewöhnlichen Vereinigung zweier Mengen ausdrücken lassen.. ─ tobit 13.11.2021 um 22:47
Was hat $\bigcup_{i\in I}B_i$ für Mengen $B_i$ nun mit der "gewöhnlichen" Vereinigung $\cup$ zweier Mengen zu tun?
Im Spezialfall $I=\{1,2\}$ gilt für alle Mengen $B_1$ und $B_2$ die Beziehung $\bigcup_{i\in\{1,2\}}B_i=B_1\cup B_2$.
In diesem Sinne kann man die gewöhnliche Vereinigung zweier Mengen als Spezialfall der großen Vereinigung ansehen bzw. umgekehrt die große Vereinigung als Verallgemeinerung der gewöhnlichen Vereinigung zweier Mengen ansehen.
Allgemeiner gilt für alle natürlichen Zahlen $k$ und Mengen $B_1,B_2,B_3,..., B_k$:
$\bigcup_{i\in\{1,2,3,\ldots,k\}}B_i=(...((B_1\cup B_2)\cup B_3)...)\cup B_k$.
In diesem Sinne entspricht für endliche Indexmengen $I$ die große Vereinigung einer wiederholten gewöhnlichen Vereinigung.
Ist die Indexmenge $I$ jedoch unendlich (wie in den Beispielen der Aufgabenstellungen, wo $I=\mathbb{N}$ gilt), lässt sich die große Vereinigung $\bigcup$ i.A. wohl kaum mithilfe der gewöhnlichen Vereinigung zweier Mengen umschreiben.
In diesem Sinne ermöglicht die große Vereinigung nicht nur eine kompaktere Schreibweise von endlichen Vereinigungen (d.h. endlich-malige Vereinigung zweier Mengen), sondern erlaubt auch Vereinigungen unendlich vieler Mengen, die sich gar nicht mit der gewöhnlichen Vereinigung zweier Mengen ausdrücken lassen.. ─ tobit 13.11.2021 um 22:47
Lieber tobit, vielen vielen lieben Dank für diese ausführliche Erklärung, ich denke, dass ich das ganze jetzt verstanden habe, ich gehe es mal trotzdem noch einmal durch.
$M_0: = \{m \in {N} | m < 0\}$ gilt für kein m
$M_1: = \{m \in {N} | m < 1\}$ gilt für m=0 (bei uns ist $0 \in {N}$)
$M_2: = \{m \in {N} | m < 2\}$ gilt für m=0 und 1
$M_3: = \{m \in {N} | m < 3\}$ gilt für m = 0,1 und 2
$M_4: = \{m \in {N} | m < 4\}$ gilt für m = 0,1,2 und 3
...
Wenn das n nun gegen unendlich läuft und ich alles vereinige, erhalte ich also einfach wieder die natürlichen Zahlen.
$M_0: = \{m \in {N} | m > 0\}$ gilt für alle m>0 -> 1,2,3,4,5...
$M_1: = \{m \in {N} | m > 1\}$ gilt für m>1 -> 2,3,4,5,6,...
$M_2: = \{m \in {N} | m > 2\}$ gilt für m>2 -> 3,4,5,6,7...
$M_3: = \{m \in {N} | m > 3\}$ gilt für m >3 -> 4,5,6,7,8...
$M_4: = \{m \in {N} | m > 4\}$ gilt für m >4 -> 5,6,7,8,9,...
...
Von der "vorderen Seite" wird sozusagen immer eine Zahl weggenommen und hinten läuft das sowieso nach unendlich. Dadurch müsste ja der Schnitt die leere Menge sein ─ jkub 14.11.2021 um 13:48
$M_0: = \{m \in {N} | m < 0\}$ gilt für kein m
$M_1: = \{m \in {N} | m < 1\}$ gilt für m=0 (bei uns ist $0 \in {N}$)
$M_2: = \{m \in {N} | m < 2\}$ gilt für m=0 und 1
$M_3: = \{m \in {N} | m < 3\}$ gilt für m = 0,1 und 2
$M_4: = \{m \in {N} | m < 4\}$ gilt für m = 0,1,2 und 3
...
Wenn das n nun gegen unendlich läuft und ich alles vereinige, erhalte ich also einfach wieder die natürlichen Zahlen.
$M_0: = \{m \in {N} | m > 0\}$ gilt für alle m>0 -> 1,2,3,4,5...
$M_1: = \{m \in {N} | m > 1\}$ gilt für m>1 -> 2,3,4,5,6,...
$M_2: = \{m \in {N} | m > 2\}$ gilt für m>2 -> 3,4,5,6,7...
$M_3: = \{m \in {N} | m > 3\}$ gilt für m >3 -> 4,5,6,7,8...
$M_4: = \{m \in {N} | m > 4\}$ gilt für m >4 -> 5,6,7,8,9,...
...
Von der "vorderen Seite" wird sozusagen immer eine Zahl weggenommen und hinten läuft das sowieso nach unendlich. Dadurch müsste ja der Schnitt die leere Menge sein ─ jkub 14.11.2021 um 13:48
Hallo jkub, das sieht gut aus. :-)
Du hast jetzt offenbar korrekt verstanden, aus welchen Elementen die zu vereinigenden / schneidenden Mengen bestehen. Z.B. die Menge $\{m\in\mathbb{N}\;|\;m<4\}$ besteht genau aus den natürlichen Zahlen 0,1,2 und 3, so dass du $\{m\in\mathbb{N}\;|\;m<4\}=\{0,1,2,3\}$ schreiben könntest. Damit ist "Schritt 1." von dir erledigt.
Dann hast du intuitiv richtig die gesuchten Mengen $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m< n\}$ und $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m> n\}$ ermittelt, nämlich $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m< n\}=\mathbb{N}$ und $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m> n\}=\emptyset$. Damit ist auch "Schritt 2." erfolgreich bewältigt!
Fehlt nur noch "Schritt 3.", ein Beweis der Vermutung, dass tatsächlich $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m< n\}=\mathbb{N}$ und $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m> n\}=\emptyset$ gelten.
Zum Nachweis der Gleichheit mit $\bigcup$ zeigen wir wie üblich zum Nachweis der Gleichheit der beiden Mengen nacheinander die beiden Inklusionen "$\subseteq$" und "$\supseteq$", woraus dann die Gleichheit folgt.
Nachweis von $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m < n\}\subseteq\mathbb{N}$: Sei $x\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m < n\}$. Zu zeigen ist $x\in\mathbb{N}$. Wegen $x\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m < n\}$ existiert ein $n\in\mathbb{N}$ mit $x\in\{m\in\mathbb{N}\;|\; m < n\}$. Letzteres bedeutet $x\in\mathbb{N}$ mit $x< n$. Insbesondere gilt also wie gewünscht $x\in\mathbb{N}$.
Nachweis von $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}\supseteq \mathbb{N}$: Sei $x\in\mathbb{N}$. Zu zeigen ist $x\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m < n\}$. Wir müssen also ein $n\in\mathbb{N}$ finden mit $x\in\{m\in\mathbb{N}\;|\;m < n\}$, d.h. mit $x\in\mathbb{N}$ und $x< n$. (Die Bedingung $x\in\mathbb{N}$ gilt sowieso nach Wahl von $x$.) Die Frage ist somit noch: Finden wir tatsächlich zu jeder natürlichen Zahl $x$ eine natürliche Zahl $n$ mit $x< n$? Hast du eine Idee, wie wir zu einer beliebigen natürlichen Zahl $x$ eine natürliche Zahl $n$ finden mit $x< n$?
Zum Nachweis von $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m> n\}=\emptyset$ genügt es, die Annahme der Existenz eines $x\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m> n\}$ zum Widerspruch zu führen. Angenommen also, es gibt doch ein $x\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m> n\}$. Dann gilt z.B. insbesondere $x\in\{m\in\mathbb{N}\;|\;m> 1\}$ und damit insbesondere $x\in\mathbb{N}$. Wir haben somit $x\in\{m\in\mathbb{N}\;|\; m > n\}$ insbesondere für $n:=x$, d.h. $x\in\{m\in\mathbb{N}\;|\;m > x\}$, d.h. $x\in\mathbb{N}$ mit $x>x$. Im Widerspruch dazu wissen wir jedoch, dass $x>x$ nicht gelten kann (es gibt nämlich gar keine natürliche Zahl $y$ mit $y>y$). ─ tobit 14.11.2021 um 17:04
Du hast jetzt offenbar korrekt verstanden, aus welchen Elementen die zu vereinigenden / schneidenden Mengen bestehen. Z.B. die Menge $\{m\in\mathbb{N}\;|\;m<4\}$ besteht genau aus den natürlichen Zahlen 0,1,2 und 3, so dass du $\{m\in\mathbb{N}\;|\;m<4\}=\{0,1,2,3\}$ schreiben könntest. Damit ist "Schritt 1." von dir erledigt.
Dann hast du intuitiv richtig die gesuchten Mengen $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m< n\}$ und $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m> n\}$ ermittelt, nämlich $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m< n\}=\mathbb{N}$ und $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m> n\}=\emptyset$. Damit ist auch "Schritt 2." erfolgreich bewältigt!
Fehlt nur noch "Schritt 3.", ein Beweis der Vermutung, dass tatsächlich $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m< n\}=\mathbb{N}$ und $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m> n\}=\emptyset$ gelten.
Zum Nachweis der Gleichheit mit $\bigcup$ zeigen wir wie üblich zum Nachweis der Gleichheit der beiden Mengen nacheinander die beiden Inklusionen "$\subseteq$" und "$\supseteq$", woraus dann die Gleichheit folgt.
Nachweis von $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m < n\}\subseteq\mathbb{N}$: Sei $x\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m < n\}$. Zu zeigen ist $x\in\mathbb{N}$. Wegen $x\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\; m < n\}$ existiert ein $n\in\mathbb{N}$ mit $x\in\{m\in\mathbb{N}\;|\; m < n\}$. Letzteres bedeutet $x\in\mathbb{N}$ mit $x< n$. Insbesondere gilt also wie gewünscht $x\in\mathbb{N}$.
Nachweis von $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}\supseteq \mathbb{N}$: Sei $x\in\mathbb{N}$. Zu zeigen ist $x\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m < n\}$. Wir müssen also ein $n\in\mathbb{N}$ finden mit $x\in\{m\in\mathbb{N}\;|\;m < n\}$, d.h. mit $x\in\mathbb{N}$ und $x< n$. (Die Bedingung $x\in\mathbb{N}$ gilt sowieso nach Wahl von $x$.) Die Frage ist somit noch: Finden wir tatsächlich zu jeder natürlichen Zahl $x$ eine natürliche Zahl $n$ mit $x< n$? Hast du eine Idee, wie wir zu einer beliebigen natürlichen Zahl $x$ eine natürliche Zahl $n$ finden mit $x< n$?
Zum Nachweis von $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m> n\}=\emptyset$ genügt es, die Annahme der Existenz eines $x\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m> n\}$ zum Widerspruch zu führen. Angenommen also, es gibt doch ein $x\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m> n\}$. Dann gilt z.B. insbesondere $x\in\{m\in\mathbb{N}\;|\;m> 1\}$ und damit insbesondere $x\in\mathbb{N}$. Wir haben somit $x\in\{m\in\mathbb{N}\;|\; m > n\}$ insbesondere für $n:=x$, d.h. $x\in\{m\in\mathbb{N}\;|\;m > x\}$, d.h. $x\in\mathbb{N}$ mit $x>x$. Im Widerspruch dazu wissen wir jedoch, dass $x>x$ nicht gelten kann (es gibt nämlich gar keine natürliche Zahl $y$ mit $y>y$). ─ tobit 14.11.2021 um 17:04
Hallo cauchy und mikn,
zunächst danke für den Hinweis auf die Tippfehler. Ich hoffe, nun alle gefunden und korrigiert zu haben. Wenn nicht, bitte ich noch einmal um einen entsprechenden Hinweis.
Ich finde es sehr gut, dass in diesem Forum die Fragesteller durch Selbsttun viel lernen können. :-) Im Falle dieser Aufgabe hat jkub Schritte 1. und 2. mit der Hilfe von uns dreien aus meiner Sicht erfolgreich selbst gelöst; hier habe ich in meinem vorherigen Kommentar lediglich Hilfestellung in Sachen endgültiger Formulierung gegeben. Einen formalen Beweis (Schritt 3.) habe ich in der Tat zu weiten Teilen vorgegeben, u.a. weil ich diesen formalen Beweis nicht für den Schwerpunkt der Aufgabenstellung hielt und nicht sicher weiß, ob er überhaupt verlangt ist. Ich habe mir aber für die Zukunft vorgenommen, noch mehr darauf zu achten, nicht zu viel vorzugeben. Also Danke auch für diesen Hinweis.
@mikn Kannst du mir mindestens ein Beispiel für eine Stelle nennen, an der ich unnötig kompliziert argumentiere? Natürlich habe ich eine relativ detaillierte Form gewählt, die Argumentation darzustellen (vor allem aus didaktischen Gründen). Ich glaube jedoch nicht, dass es inhaltlich einfacher geht, lasse mich aber gerne eines Besseren belehren. :-) ─ tobit 15.11.2021 um 04:35
zunächst danke für den Hinweis auf die Tippfehler. Ich hoffe, nun alle gefunden und korrigiert zu haben. Wenn nicht, bitte ich noch einmal um einen entsprechenden Hinweis.
Ich finde es sehr gut, dass in diesem Forum die Fragesteller durch Selbsttun viel lernen können. :-) Im Falle dieser Aufgabe hat jkub Schritte 1. und 2. mit der Hilfe von uns dreien aus meiner Sicht erfolgreich selbst gelöst; hier habe ich in meinem vorherigen Kommentar lediglich Hilfestellung in Sachen endgültiger Formulierung gegeben. Einen formalen Beweis (Schritt 3.) habe ich in der Tat zu weiten Teilen vorgegeben, u.a. weil ich diesen formalen Beweis nicht für den Schwerpunkt der Aufgabenstellung hielt und nicht sicher weiß, ob er überhaupt verlangt ist. Ich habe mir aber für die Zukunft vorgenommen, noch mehr darauf zu achten, nicht zu viel vorzugeben. Also Danke auch für diesen Hinweis.
@mikn Kannst du mir mindestens ein Beispiel für eine Stelle nennen, an der ich unnötig kompliziert argumentiere? Natürlich habe ich eine relativ detaillierte Form gewählt, die Argumentation darzustellen (vor allem aus didaktischen Gründen). Ich glaube jedoch nicht, dass es inhaltlich einfacher geht, lasse mich aber gerne eines Besseren belehren. :-) ─ tobit 15.11.2021 um 04:35
Hallo mikn!
Danke für deinen Kommentar! :-)
"Zum Nachweis von ⊆ reicht es festzustellen, dass die Vereinigung von Teilmengen von N natürlich wieder eine Teilmenge von N ist."
Das gibt einen konzeptionelleren Beweis, während ich einen direkteren Weg gewählt habe, der ohne besondere Ideen auskommt. Bei deinem Vorschlag ist zu überlegen, dass $\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}\subseteq\mathbb{N}$ gilt und vor allem die Hilfsaussage "jede Vereinigung von Teilmengen von $\mathbb{N}$ ist eine Teilmenge von $\mathbb{N}$" zu formulieren und zu beweisen. Insgesamt wird der Beweis so etwas länger und "aufgegliederter".
"Diesen Nachweis über zwei Richtungen und Argumentation über die Elemente halte ich für zu kompliziert"
Du wirst wohl kaum ohne zwei Richtungen und Elemente-Argumentationen (an irgendeiner Stelle) auskommen.
"Es suggeriert, dass eine unendliche Vereinigung was prinzipiell anderes ist als eine endliche. Daran glaubte ja der Frager, und das bestärkt ihn."
Die große Vereinigung IST nun mal anders definiert als die Vereinigung zweier Mengen und insofern etwas anderes. Ob dieser Unterschied "prinzipiell" ist, überlasse ich den Philosophen... :-)
"Ich finde die Lösung sich zu überlegen, was die endliche Vereinigung $\bigcup_{i=1}^n$ ist, viel einfacher und einleuchtender."
Ich sehe nicht, wie einem die Bestimmung von endlichen Vereinigungen bei der Lösung der konkreten Aufgabe weiterhelfen soll... :-(
"Das kann man notfalls (falls man für das nötig hält) mit Induktion beweisen. Jedenfalls braucht man keine zwei Richtungen dafür."
Doch, zumindest wohl im Induktionsschritt!
"Und ich würde nicht in einer Aufgabe zweimal die gleiche Notation M_i verwenden."
Ich auch nicht. Aber wenn jkub die beiden Aufgaben als getrennte Aufgaben sieht und in beiden Fällen die Abkürzung $M_n$ in unterschiedlichen Bedeutungen benutzt, sehe ich auch kein Problem darin.
"Ich wollte den Frager von alldem überzeugen, aber er suchte ja eine kompliziertere Lösung, die hast Du geliefert und damit ist er zufrieden."
Ich finde es nicht angebracht, jkub vorzuwerfen, er habe eine kompliziertere Lösung gesucht. Zumal es ja offenbar keine einfachere Lösung gibt.
"Vorurteil "Mathe ist kompliziert" bestätigt."
Ich habe mich öfters über Professoren geärgert, die sagten "ist trivial", "wie man sofort sieht", "natürlich"... Aber das ist ein anderes Thema... ;-)
Ich schätze deine Beiträge im Forum hier grundsätzlich sehr. Hier scheinst du aber irgendwie eine "Lösung" der Aufgabe mithilfe endlicher Vereinigungen im Kopf zu haben, was jedoch wohl mathematisch nicht funktioniert.
Viele Grüße
Tobias ─ tobit 15.11.2021 um 19:06
Danke für deinen Kommentar! :-)
"Zum Nachweis von ⊆ reicht es festzustellen, dass die Vereinigung von Teilmengen von N natürlich wieder eine Teilmenge von N ist."
Das gibt einen konzeptionelleren Beweis, während ich einen direkteren Weg gewählt habe, der ohne besondere Ideen auskommt. Bei deinem Vorschlag ist zu überlegen, dass $\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}\subseteq\mathbb{N}$ gilt und vor allem die Hilfsaussage "jede Vereinigung von Teilmengen von $\mathbb{N}$ ist eine Teilmenge von $\mathbb{N}$" zu formulieren und zu beweisen. Insgesamt wird der Beweis so etwas länger und "aufgegliederter".
"Diesen Nachweis über zwei Richtungen und Argumentation über die Elemente halte ich für zu kompliziert"
Du wirst wohl kaum ohne zwei Richtungen und Elemente-Argumentationen (an irgendeiner Stelle) auskommen.
"Es suggeriert, dass eine unendliche Vereinigung was prinzipiell anderes ist als eine endliche. Daran glaubte ja der Frager, und das bestärkt ihn."
Die große Vereinigung IST nun mal anders definiert als die Vereinigung zweier Mengen und insofern etwas anderes. Ob dieser Unterschied "prinzipiell" ist, überlasse ich den Philosophen... :-)
"Ich finde die Lösung sich zu überlegen, was die endliche Vereinigung $\bigcup_{i=1}^n$ ist, viel einfacher und einleuchtender."
Ich sehe nicht, wie einem die Bestimmung von endlichen Vereinigungen bei der Lösung der konkreten Aufgabe weiterhelfen soll... :-(
"Das kann man notfalls (falls man für das nötig hält) mit Induktion beweisen. Jedenfalls braucht man keine zwei Richtungen dafür."
Doch, zumindest wohl im Induktionsschritt!
"Und ich würde nicht in einer Aufgabe zweimal die gleiche Notation M_i verwenden."
Ich auch nicht. Aber wenn jkub die beiden Aufgaben als getrennte Aufgaben sieht und in beiden Fällen die Abkürzung $M_n$ in unterschiedlichen Bedeutungen benutzt, sehe ich auch kein Problem darin.
"Ich wollte den Frager von alldem überzeugen, aber er suchte ja eine kompliziertere Lösung, die hast Du geliefert und damit ist er zufrieden."
Ich finde es nicht angebracht, jkub vorzuwerfen, er habe eine kompliziertere Lösung gesucht. Zumal es ja offenbar keine einfachere Lösung gibt.
"Vorurteil "Mathe ist kompliziert" bestätigt."
Ich habe mich öfters über Professoren geärgert, die sagten "ist trivial", "wie man sofort sieht", "natürlich"... Aber das ist ein anderes Thema... ;-)
Ich schätze deine Beiträge im Forum hier grundsätzlich sehr. Hier scheinst du aber irgendwie eine "Lösung" der Aufgabe mithilfe endlicher Vereinigungen im Kopf zu haben, was jedoch wohl mathematisch nicht funktioniert.
Viele Grüße
Tobias ─ tobit 15.11.2021 um 19:06
Hallo mikn!
Ich habe den Eindruck, du siehst deinen Irrtum noch nicht. Ich finde es nicht schlimm, sich auch mal zu irren. Ich traue dir aber zu, den Irrtum selbst zu sehen: Angenommen ich habe nun $\bigcup_{i=1}^n\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< i\}=\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}$ für alle $n\in\mathbb{N}$ induktiv bewiesen oder intuitiv eingesehen, wie von dir vorgeschlagen (meinetwegen auch für kleine $n$ ausgeschrieben). Wie hilft mir das nun weiter, $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}$ zu bestimmen? Siehst du nun, dass du auf ein Problem läufst? Falls nicht: Versuche mal bitte zu erklären, wie du $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}$ nun berechnen würdest und wie du dein Ergebnis auf Nachfrage begründen würdest.
Man kann unterschiedlicher Meinung hinsichtlich des erwarteten Detailgrades der Formulierung eines Beweises sein. Aber unter Mathematikern sollte es einen Grundkonsens geben, welche inhaltlichen Argumentationen gültig sind und welche nicht.
Viele Grüße
Tobias ─ tobit 16.11.2021 um 03:45
Ich habe den Eindruck, du siehst deinen Irrtum noch nicht. Ich finde es nicht schlimm, sich auch mal zu irren. Ich traue dir aber zu, den Irrtum selbst zu sehen: Angenommen ich habe nun $\bigcup_{i=1}^n\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< i\}=\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}$ für alle $n\in\mathbb{N}$ induktiv bewiesen oder intuitiv eingesehen, wie von dir vorgeschlagen (meinetwegen auch für kleine $n$ ausgeschrieben). Wie hilft mir das nun weiter, $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}$ zu bestimmen? Siehst du nun, dass du auf ein Problem läufst? Falls nicht: Versuche mal bitte zu erklären, wie du $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{m\in\mathbb{N}\;|\;m< n\}$ nun berechnen würdest und wie du dein Ergebnis auf Nachfrage begründen würdest.
Man kann unterschiedlicher Meinung hinsichtlich des erwarteten Detailgrades der Formulierung eines Beweises sein. Aber unter Mathematikern sollte es einen Grundkonsens geben, welche inhaltlichen Argumentationen gültig sind und welche nicht.
Viele Grüße
Tobias ─ tobit 16.11.2021 um 03:45
