Die (allgemeine) lineare Gruppe \(GL(V)\) eines Vektorraums \(V\) ist die Gruppe der Endomorphismen von \(V\), also die Gruppe aller bijektiven, linearen Abbildungen \(V \to V\).

Bezeichne \(^H \) die adjungierte Abbildung, \(^{-1}\) die Inverse Abbildung und \((.,.) \) das Skalarprodukt. Sei \(f \in GL(V) \), dann gilt für alle \(v,w \in V\):

\( (v,(f^{-1})^H(w)) =(f^{-1}(v),w) = (f^{-1}(v), f^H( ( f^H)^{-1}(w))) = (f ( f^{-1}(v)), (f^H)^{-1}(w))=(v,(f^H)^{-1}(w)) \)

Hieraus folgt \( (f^{-1})^H(w) = (f^H)^{-1}(w) \) für alle \(w \in V\) und somit \( (f^{-1})^H = (f^H)^{-1} \).