Oh es tut mir sehr Leid die Antwort muss mir durch gegangen sein.
Wir können die Funktion \( df : h \to f(p+h) - f(p) \) linear approximieren mittels Taylor.
Das bedeutet wir approximieren bis zur ersten Ordnung. Im mehrdimensionalen bedeutet das aber gerade
\( f(x_0) \approx f(x_0) + grad \ f(x_0) \cdot (x-x_0) \)
Mit
\( grad \ f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} \frac {\partial f} {\partial x} \\ \frac {\partial f} {\partial y} \\ \frac {\partial f} {\partial z} \end{pmatrix} \)
Siehst du schon die Ähnlichkeit zum obigen Ausdruck?
Approximieren wir mal die Funktion \( f(p+h) \) um den Entwicklungspunkt \( p \)
\( f(p+h) \approx f(p) + grad \ f(p) (p+h-p) = f(p) + grad \ f(p) \cdot h \)
Für \( df \) gilt
\( df = f(p+h ) - f(p) \)
Also erhalten wir
\( f(p+h) - f(p) \approx f(p) + grad \ f(p) \cdot h - f(p) = grad \ f(p) \cdot h \)
Nun ist \( h\) genau unsere Änderung
\( h = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} \)
Also bekommen wir nach auflösen des Skalarproduktes
\( df = \frac {\partial f} {\partial x} dx + \frac {\partial f} {\partial y} dy + \frac {\partial f} {\partial z} dz \)
Grüße Christian
Also die partiellen Ableitungen habe ich schon gemacht, allerdings ohne Grenzwertbildung, und auch die Formel für das totale Differential ist mir bekannt, allerdings habe ich meine Schwierigkeiten mit dx, dy und dz. Mir ist klar, dass das jeweils x-x0 etc ist, aber wie komme ich überhaupt auf x0?
Die Aufgabenstellung lautet „Bestimmen Sie einen geeigneten Kandidaten für die lineare Abbildung Jf(a) (das totale Differential), indem Sie die relevanten Grenzwerte bestimmen.“
Vielleicht ist das auch alles gar nicht so schwer und ich lasse mich gerade einfach von der Aufgabenstellung verwirren.
Viele Grüße und danke noch ein mal :) ─ shirin@mathe 25.05.2019 um 10:55