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Wir diskutieren im Moment über die Gaußsche Formel (Divergenztheorem). Dort steht, dass die Menge, über die wir integrieren, kompakt sein muss und einen glatten Rand haben muss. Ich weiß, was kompakt bedeutet, aber ich kann mir nicht vorstellen, wie ein glatter Rand aussieht. Wir hatten die folgende Definition
Sei $A\subset \mathbb{R}^n$ eine kompakte Teilmenge. Wir sagen, dass A einen glatten Rand hat, wenn es für jede $a\in \partial A$ eine offene Nachbarschaft $U\subset \mathbb{R}^n$ und eine $C^1$-Funktion $$\psi:U\rightarrow \mathbb{R}$$ gibt, so dass
1. $A\cap U=\{y\in U: \psi(x)\leq 0\}$
2. $\nabla \psi(x)\neq 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\forall x\in U$
Aber irgendwie sehe ich nicht, wie wir uns das vorstellen können. Also ich denke, dass eine Kugel immer einen glatten Rand hat. Aber in der Vorlesung haben wir auch ein Integral über einen Würfel mit dem Divergenztheorem berechnet, also nehme ich an, dass auch ein Würfel eine glatte Kante haben muss, richtig?
Gibt es also noch andere Mengen wie z.B. ein Thetraeder oder einen Zylinder, die glatte Kanten haben?
Kann mir das jemand erklären? Vielleicht auch mit etwas Intuition?
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gefragt
karate
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ich schreibe einmal als Kommentar, weil Maßtheorie schon etwas bei mir her ist.
Ich habe aber nochmal ein Blick in mein Skript geworfen. Dort werden die Punkte des Randes in zwei Kategorien aufgeteilt. Die eine sind die regulären Punkte. Das sind genau die Punkte die mit deiner Definition eines glatten Randes beschrieben werden.
Dazu gibt es dann noch die singulären Punkte. Das sind genau die nicht regulären Punkte.
Ich finde es gerade nicht mehr, aber ich meine diese Definition von regulären Punkten besagt, dass es ein differenzierbares äußeres Normalenfeld gibt. Wir können also an jeder Stelle eine Tangentialebene anlegen. Anschaulich bedeutet das, dass wenn wir ein egal wie leistungsstarkes Mikroskop hätten und immer näher ranzoomen, der Rand immer wie ein differenzierbarer Graph aussehen würde.
Die singulären Punkte sind dann solche die Kanten bilden. Beispielsweise die Kanten eines Würfels. Hier haben wir einen knicks, würden wir also reinzoomen würden wir eher sowas sehen wie die Betragsfunktion, als eine glatte Funktion.
Nun passiert in der Definition in meinem Skript aber noch etwas. Wenn die Menge der singulären Randpunkte eine Nullmenge bilden, dann wird diese kompakte Teilmenge ein $\mathcal C^1$-Polyeder genannt. Und solche $\mathcal C^1$-Polyeder werden dann bei mir als Voraussetzung für den Satz von Gauß genommen.
Der Grund warum wir auch eine kompakte Teilmenge integrieren können, die Ecken hat, liegt in der Nullmenge. Für Lebesgue Integrale ändert sich das Integral nicht, wenn wir Nullmengen herausnehmen. Deshalb ist das Integral über einem $C^1$-Polyeder das selbe wie die Menge der regulären Punkte.
Ein Beispiel, ab wann eine solche kompakte Teilmenge nun kein $\mathcal C^1$-Polyeder ist, kann ich dir leider nicht liefern. Da müsste ich auch nochmal etwas recherchieren. Aber vielleicht hilft es dir ja trotzdem schon mal weiter.
Grüße Christian ─ christian_strack 02.12.2021 um 15:05