Supremum des Standardskalars

Aufrufe: 645     Aktiv: 20.04.2020 um 23:42
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Ich habe eine Frage zu dem Standardskalar: Ich habe eine Funktion die das Supremum des Standardskalars von x und y sucht, wobei x in die Funktion eingegeben wird und y maximal die Länge 1 hat. Meine Frage ist jetzt: Würde Supremum nicht genau dann eintreten, wenn x und y linear abhängig sind. Ich frage dies da ich dann Gleichheit der Cauchy Schwarz Ungleichung schließen will.

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Student, Punkte: 20

 
Mit "Standardskalar" meinst du das Standardskalarprodukt, oder?   ─   digamma 20.04.2020 um 22:53
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Deine Vermutung ist korrekt. Man kann sich überlegen, dass der Vektor y auf jeden Fall die Norm 1 haben muss (lasse ich mal als Übung), und damit ist y einfach der normierte Vektor x also y = x/||x||.

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Vielen Dank für deine Antwort!! Denkst du ich kann das so angeben oder müsste ich dies noch extra beweisen? Oder ist es intuitiv genug?   ─   3marco6 20.04.2020 um 23:36
Aus Cauchy-Schwartz folgt ja, dass \(|x\bullet y|\leq||x||\cdot||y||\leq||x||\), da ja \(||y||\leq 1\). Und mit \(y=x/||x||\) haben wir einen Vektor gefunden, für den Gleichheit gilt. Also ist diese obere Schranke sogar die kleinste obere Schranke und damit das Supremum. Beweis Ende.   ─   benesalva 20.04.2020 um 23:40

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Linear abhängig reicht nicht, der eine Vektor muss ein positives Vielfaches des andern sein.

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Davon abgesehen habe ich die Aufgabenstellung nicht wirklich verstanden.   ─   digamma 20.04.2020 um 22:57

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