Bei Addition und Subtraktion ignorierst du das Komma beim Rechnen (also addierst/subtrahierst so, als wäre kein Komma da) und schreibst es einfach mit ab. Zum Beispiel

\(\begin {align}&12,34\\+&23,5\\=&35,84.\end {align}\)

Du rechnest ganz normal, und da wo das Komma vorher stand, steht es nachher auch. Subtraktion genauso:

\(\begin {align}&98,40\\-&32,76\\=&65,64.\end {align}\)

Bei der Multiplikation multiplizierst du die Zahlen zunächst ohne Komma. Dann addierst du die Anzahl der Nachkommastellen deiner beiden Zahlen, so viele Nachkommastellen hat dein Ergebnis. Wenn du zum Beispiel \(1,25\cdot1,8\) rechnen sollst, dann berechnest du zuerst \(125\cdot18=2250\). Deine beiden Ausgangszahlen hatten zusammen insgesamt 3 Stellen nach dem Komma, also schreiben wir das Komma im Ergebnis an die dritte Stelle von rechts und erhalten \(2,250=2,25\)

Jetzt zur Division: Auch hier rechnen wir zuerst ohne Komma, dann verschieben wir das Komma um die Differenz der Nachkommastellen, wenn sie positiv ist nach links, wenn sie negativ ist nach rechts. Zum Beispiel \(13,35:1,2\): Wir rechnen zuerst \(1335:12=111,25\). Die erste Zahl hat 2 Nachkommastellen, die zweite 1. Also verschieben wir das Komma um \(2-1=1\) Stelle nach links und erhalten \(11,125\).

Hallo,

für schriftliches addieren und subtrahieren schreiben wir die beiden Zahlen untereinander. Es ist wichtig, dass die Kommas untereinander sind. 

$$ \begin{array}{cccccccc} & 1 & 2 &3, & 4 & 5 \\ + & & 6 & 7, & 8 \\ \hline  &  1&9&1,&2&5 \end{array} $$

Wir fangen ganz hinten an. Dort wo eine Lücke ist, denken wir uns eine Null. Wir addieren dann zuerst die Null und die \(5\), dann \( 4+8 \) . Hier erhalten wir \( 12 \) schreiben somit die \( 2 \) dadrunter und nehmen den Zehner (also die 1) mit in die nächste Spalte. Dort rechnen wir dann \( 3+7+1 \) (die eins von der Spalte davor) und erhalten \( 11 \). Die \( 1 \) schreiben wir wieder auf und nehmen den Zehner mit in die nächste Spalte usw.
Im Ergebnis setzen wir das Komma unter die anderen beiden Kommas.

Schriftliches subtrahieren läuft da ziemlich analog

$$  \begin{array}{cccccccc} & 1 & 2 &3, & 4 & 5 \\ - & & 6 & 7, & 8 \\ \hline  & & 5&5,&6 &5 \end{array} $$

Wir rechnen immer die obere Zahl minus die untere Zahl. \( 5-0 = 5 \). Als nächstes rechen wir \( 4-8 \), da die \( 4 \) kleiner ist, "leihen wir uns einen Zehner aus der nächsten Spalte und rechnen \( 14-8 = 6 \). Den ausgeliehenen Zehner müssen wir nun verrechnen. Deshalb rechnen wir in der nächsten Spalte \( 3-7-1 \). Wir müssen uns wieder einen Zehner leihen \( 13-7-1 = 5 \) usw.
Auch hier steht das Komma des Ergebnisses wieder unter den anderen beiden Kommas.

Nun zur Multiplikation und Division:

$$ 12{,}3 \cdot 4{,}5 $$

Die Idee hinter der Mutliplikation ist folgende. Wir spalten eine der Zahlen auf.

$$ 12{,}3 \cdot 4{,}5 = 12{,}3 \cdot (4 + 0{,}5 ) = 12{,}3 \cdot 4 + 12{,}3 \cdot 0{,}5 $$

Jeden Summanden des letzten Terms berechnen wir in einer Zeile

$$ \begin{array}{cccccccccc} 1 & 2, & 3 & \cdot & 4, & 5 \\ \hline &&4&9&2 & \\ +& & & 6 & 1 & 5 \\ \hline & & 5 & 5, &3 & 5   \end{array} $$

Zuerst ignorieren wir alle Kommas und rechnen \( 123 \cdot 4 =492 \) und \(123 \cdot 5 = 615 \). Dann schreiben wir die letzte Zahl des Ergebnisses genau unterhalb der Zahl, mit der wir multiplizieren (in der ersten Zeile multiplizerien wir mit 4 und in der zweiten mit 5). 

Dann addieren wir wieder beide Ergebnisse. Danach zählen wir wie viele Nachkommastellen beide Zahlen insgesamt haben. \(12{,}3 \) hat eine und \( 4{,}5 \) hat auch eine. Deshalb hat unser Ergebnis dann \( 1+1 = 2 \) Nachkommastellen.

Die Division ist etwas schwerer darzustellen aber ich versuche es trotzdem mal. 

Wir wollen \( 12{,}3 \div 4{,}5 \) rechnen. Nun ist eine Division nichts anderes als eine Art Verhältnis. Auf einem Bruchstrich sieht das folgendermaßen aus

$$ \frac {12{,}3} {4{,}5} $$

Nun können wir einen Bruch erweitern. 

$$ \frac {12{,}3} {4{,}5} = 1 \cdot \frac {12{,}3} {4{,}5}  = \frac {10} {10} \cdot \frac {12{,}3} {4{,}5}  = \frac {123} {45} $$

Es gilt also

$$ 12{,}3 \div 4{,}5 = 123 \div 45 $$

Deshalb verschieben wir das Komma bei beiden Zahlen gleichermaßen, damit wir nicht mehr durch eine Dezimalzahl teilen.

$$ \begin{array}{cccccccccc} & 1& 2 & 3 & \div & 4 & 5 & = & 2, & 7 & \overline{3} \\ \hline & 1 &2 & 3 \\ - & & 9 & 0 \\ \hline & & 3 & 3 & 0 \\ & - & 3 & 1 & 5 \\ \hline & & & 1 & 5 & 0 \\ & & - & 1 & 3 & 5 \end{array} $$

Dann prüfen wir, wie oft passt die \( 45 \) in die \( 1 \)? Gar nicht. Also nehmen wir uns die \( 2 \) dazu. Wie oft passt die \( 45 \) in die \( 12 \)? Auch nicht. Ok nehmen wir uns noch die \( 3 \). Wie oft passt die \( 45 \) in die \( 123\)? DIe Antwort ist 2x, denn \( 45 \cdot 2 = 90 \)

Nun bleiben \( 33 \) übrig. Die \( 45 \) passt nicht mehr in die \( 33 \) rein, deshalb ziehen wir uns eine Null runter. Da diese Null aber hinter dem Komma steht, müssen wir auch bei dem Ergebnis hinter die \( 2 \) ein Komma packen. Die \( 45 \) passt 7x in die \( 330 \). Es bleiben \( 15 \) über. Wir nehmen uns wieder eine Null. Nun passt die \( 45 \) 3x in die \( 150 \). es bleibt wieder \( 15 \) als Rest über. Ab hier wiederholen wir uns, denn wir erhalten immer wieder die \( 15 \) als Rest. Deshalb haben wir eine Periode und sind fertig.

Nun noch zu einer Gleichung der Art

$$ a \cdot 0{,}14 = 0{,}322 $$

Wir teilen durch \( 0{,}14 \) und erhalten

$$ \begin{array}{ccc} a \cdot \frac {0{,}14} {0{,}14} & = & \frac {0{,}322} {0{,}14} \\ a & = & \frac {0{,}322} {0{,}14} \end{array} $$

Also rechnest du um deine Lücke zu berechnen 

$$ 0{,}322 \div 0{,}14 $$

dies kannst du wieder mit der schriftlichen Division berechnen.

Ich habe dir mal noch 2 Videos von Daniel angehangen. Falls dann noch etwas unklar ist, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian