Für b) betrachten wir doch einfach mal die Funktion \(f(x) = sin(ax)\). Wir wissen, dass die Funktion für \(0 \leq ax \leq \pi  \) konkav ist, also auch insbesondere für \(0 \leq ax \leq 1\). Bedeutet, wir können die Funktion auf \([0,1]\) durch ihre Sekante abschätzen, sprich \(sin(ax) \geq \frac{sin(a\cdot 1)-sin(0)}{1-0} \cdot x = sin(a)\cdot x,  \quad \forall ax \in[0,1]\). Mit \(x = \frac{1}{n} \) folgt, dass:  \(sin(\frac{a}{n}) \geq \frac{sin(a)}{n} \). Da für \(n \geq 1\) und \(a \in (0,1)\) gilt, dass \(\frac{a}{n} \in (0,1)\). 
Daraus folgt jetzt, dass \( \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \vert (-1)^n sin(\frac{a}{n})\vert =  \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}  sin(\frac{a}{n}) \geq sin(a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac1 n\).
Wenn noch was unklar ist, kannst du gerne nocheinmal fragen.

Hallo,

a) das Quotientenkriterium besagt, das eine Reihe konvergiert, wenn

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac {a_{n+1}} {a_n} \right| < 1 $$

ist. Wenn du nun

$$ \left| \frac {a_{n+1}} {a_n} \right| $$

berechnest und kürzt, dann erhälst du einen Ausdruck der Form

$$ \left| \frac 1 a \cdot \frac {(n+1)^n} {n^n} \right| = \left| \frac 1 a \cdot \left( \frac {(n+1)} {n} \right)^n \right| = \left| \frac 1 a \cdot \left( 1 + \frac 1 n \right)^n \right| $$

Nun gilt

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac 1 n \right)^n = e $$

Wenn also \( a \) größer als \( e \) ist, hast du insgesamt eine Zahl kleiner \( 1 \) und die Reihe konvergiert.

Bei der b) fällt mir prinzipiell auch nur die Abschätzung bei kleinen Winkeln ein. Ich denke auch mal noch weiter drüber nach.

Edit: habe noch die Abschätzung

$$ x \leq \frac {\pi} 2 \sin(x) $$

gefunden, für \( x \in [0, \frac {\pi} 2 ] \). Habe es noch nicht durchgerechnet, mache ich gerne morgen, aber vielleicht hilft es ja schon :)

Grüße Christian